Приближения с помощью дробно-рациональных функций

Некоторые функции нельзя достаточно точно приблизить многочленами, например, имеющие асимптоты. Асимптотой графика функции называется такая прямая, расстояние от точки до которой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Рациональные функции способствуют получению хороших приближений. Наиболее сложную проблему составляет вопрос выбора вида дробно-рациональной функции для заданной функции , где и – многочлены. При выборе вида рациональной функции следует учитывать всю имеющуюся априорную информацию: симметрию приближаемой функции, точки разрыва, нули функции и т.д. Проиллюстрируем идею метода на примере. Пусть рациональная функция является отношением двух полиномов третьего порядка:

. (3.9)

Для функции по формуле Тейлора получено разложение в ряд:

. (3.10)

Приравнивая (3.9) и (3.10), а также приводя полученное равенство к общему знаменателю, получим

.

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений, из которой определим коэффициенты

Последние три уравнения отражают тот факт, что в числителе рационального приближения коэффициенты многочлена при степенях выше третьей равны нулю. При использовании данного метода возникает ошибка , которую можно оценить следующим образом. Вычислим каким был бы коэффициент , если бы он был включен в это приближение, и разделим его на величину знаменателя:

.

Для повышения точности приближения функции рациональной функцией степенной ряд (3.10) целесообразно подвергнуть экономизации.