Структура погрешности решения задач вычисления

Вычислить погрешность решения задачи было бы весьма просто, если бы точное решение было заранее известно. В этом случае оценка погрешности была бы получена путем сравнения вычисленного решения и точного, однако, точное решение задачи в подавляющем большинстве случаев заранее неизвестно. Выходом из такого положения является изучение причин возникновения погрешностей и выработка способов их оценки. При составлении математической модели объекта (явления, процесса) неизбежно возникают погрешности в силу идеализации (упрощения) его действительных свойств, характеристик и связей, а также невозможности точного вычисления, измерения или наблюдения наиболее важных параметров. Существует четыре основных источника погрешности результата вычислений:

· погрешность математической модели;

· погрешность исходных данных задачи;

· погрешность метода решения задачи;

· погрешность реализации вычислений, включая погрешность округления.

Результирующая погрешность определяется величиной всех перечисленных выше погрешностей.

Погрешность математической модели связана с физическими допущениями при выборе или построении математической модели и является результатом несоответствия математического описания задачи реальной действительности (может являться неустранимой). Так как расчет величины данной погрешности может быть очень трудоемким, а в некоторых случаях и вовсе невозможным, далее ее анализ рассматриваться не будет.

Погрешность, обусловленная исходными данными задачи связана с заданием числовых данных, входящих в математическое описание задачи. Если исходные данные заданы с погрешностью , то , при этом погрешность может быть неустранимой.

Погрешность метода решения задачи связана со способом решения поставленной математической задачи. Она появляется в результате замены исходной (например, нелинейной) математической модели другой моделью или конечной последовательностью более простых (например, линейных) моделей. При разработке численных методов в их алгоритмы закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня, поэтому для исследователей естественным является отношение к погрешности метода как к устранимой (условной). Выражение , вообще говоря, не может быть «просто» численно реализовано, задачу вычисления заменяют «близкой» задачей . В результате осуществляется переход от исходных элементов и к элементам других множеств и , которые допускают сравнительно «простую» численную реализацию. Соответствующим образом оператор заменяется на . При этом естественно требовать, чтобы полученная новая задача также была корректна и чтобы ее решение было близко к решению исходной задачи. Величина представляет собой погрешность метода.

Погрешность реализации вычислений (погрешность округлений) обусловлена необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от технических характеристик применяемой вычислительной техники (или от возможностей вычисления значений вручную). При численной реализации значения получается элемент , при этом само значение могло обладать погрешностью, связанной с тем, что промежуточные результаты вычислений также округлялись. Таким образом вычислительная погрешность может быть записана в виде .

При проведении вычислений нужно стремиться, чтобы погрешность метода была в несколько раз меньше погрешности исходных данных задачи . Вычислительная погрешность должна быть существенно меньше всех остальных погрешностей, то есть расчеты требуется вести с таким количеством значащих цифр (определяющих точность вычисления), чтобы погрешность округления была существенно меньше , , . Погрешность округления, связанная с представлением чисел в памяти ЭВМ, будет рассмотрена более подробно в разд. 1.5.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие влияние погрешностей на результаты решения задач вычисления.

Пример 1.1. Определим дальность полета снаряда, выпущенного под углом к горизонту со скоростью , при следующих предположениях:

· земля – инерционная система отсчета, в которой справедлив закон инерции, гласящий, что любое тело, на которое не действуют внешние силы, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

· ускорение свободного падения постоянно;

· кривизной земли можно пренебречь и считать ее плоской;

· действием воздуха на движущийся снаряд можно пренебречь.

Как известно из курса физики, при таких предположениях (выбранной схеме идеализации процесса) задача имеет достаточно простое решение:

,

причем снаряд движется по параболической траектории.

Однако дальнейшие исследования данной задачи показывают, что только пренебрежение сопротивлением воздуха приводит к существенным ошибкам (погрешностям) в определении дальности полета снаряда. Более строгие и детализированные математические модели баллистических траекторий (например, в космонавтике) учитывают вращение земли вокруг своей оси, зависимость плотности воздуха и ускорения свободного падения от высоты, кривизну земной поверхности и метеорологические данные, данные о скорости и направлении ветра, давление воздуха и т.д.

Пример 1.2. Попытка расчета одного из корней уравнения с промежуточными вычислениями с точностью до четвертой значащей цифры (см. определение 1.4 в разд. 1.4), используя правила округления и обычную формулу

,

приводит к результату , вместо точного решения . Результат имеет ошибку (погрешность) в 25 %.

Пример 1.3. Рассмотрим разложение функции в ряд Тейлора:

.

Полученный ряд сходится для любого , но для вычисления точного значения необходимо найти сумму бесконечного ряда чисел, что невозможно реализовать даже на ЭВМ. На практике вычисляют сумму некоторого количества первых членов ряда, а «хвост», содержащий бесконечное число членов, отбрасывают. В результате возникает ошибка (погрешность) вычисления, которая для рассматриваемого примера может быть оценена, например, следующим образом: – для четырех членов ряда и – для произвольного количества членов ряда.