Тема: История развития систем счисления.

Урок 1.

Позиционный принцип в системе счисления. Алфавит системы счисления.

Цели:

- Формирование первоначальных представлений о системах счисления;

- Уметь ориентироваться в позиционных системах счисления;

- Освоить понятия «базис» и «алфавит» систем счисления;

Ход урока:

1. Теоретическая основа урока
На заре разума человек начинал считать, пользуясь унарной системой счисления. Под унарной системой понимают систему счисления, в которой для записи чисел применяется только один вид знаков - палочка. Каждое число в такой системе обозначается с помощью строки, составленной из отдельных палочек. Количество палочек равно изображаемому числу. Например, число 12 в такой системе изображается как | | | | | | | | | | | |. По современным данным, развитые системы нумерации впервые появились в Древнем Египте и Месопотамии. До нас дошли надписи внутри пирамид, на плитах и обелисках. Эти надписи сделаны в виде картинок-иероглифов. Сохранились также два математических папируса, позволяющих узнать об арифметике древних египтян. Для записи чисел египтяне применяли иероглифы один, десять, сто,..., десять миллионов. Все остальные числа записывались с помощью этих иероглифов и операции сложения. Так что в египетской записи чисел особую роль играли десятка и ее степени. Интересна и римская система счисления. В этой системе семь чисел обозначаются буквами: 1 -I; 5 - V; 10 - X; 50 - L; 100 - C; 500 - D; 1000 - M, а остальные числа записываются комбинациями этих букв. Если в комбинации буквы идут в порядке от больших к меньшим, то соответствующие числа складываются. Например, XXVII означает 10+10+5+1+1=27, MMMD означает 1000+1000+1000+500=3500. Если же какие-то буквы нарушают порядок, то их значения вычитаются из значения следующей буквы. Например, IV означает 5-1=4, XIX означает 10+(10-1)=19, MCMXCIV означает 1000+(1000-100)+(100-10)+(5-1)=1994. Если складывать и вычитать в такой системе еще можно без особого труда, то умножать очень сложно, а деление представляет собой почти непосильную проблему. Вместе с тем в римской системе счисления есть одна важная идея: вклад буквы в число зависит не только от самой буквы, но и от порядка следования (позиции) букв в записи числа. Так, например, буква I дает вклад +1 в число VI и вклад -1 в число IV. Развитие этой идеи приводит к современным позиционным системам счисления. Начало десятичной системы счисления было положено в Древнем Египте и Вавилоне и было в основном завершено индийскими математиками в V-VII вв.н.э. Арабы, познакомившись с этой нумерацией первыми, по достоинству оценили ее. Получив название арабской, эта система в XII в.н.э. распространилась по всей Европе и, будучи проще и удобнее остальных систем счисления, быстро их вытеснила. Например, число 444 записано тремя одинаковыми цифрами, но каждая из них имеет свое значение: четыре сотни, четыре десятка и четыре единицы. То есть его можно записать вот так: 444 = 4.100 + 4.10 + 4.1. или 444 = 4.102 + 4.101 + 4.100. В XIII в. монах Беда Достопочтенный составил описание правил счета, согласно которым различные загибы фаланг пальцев позволяли изображать единицы, десятки, сотни и тысячи, а определенные жесты рук - считать до миллиона. История развития двоичной системы счисления - одна из самых ярких страниц в истории математики. Официальное " рождение" двоичной арифметики связывают с именем Г.В.Лейбница: он в 1703 г. опубликовал статью " Memories de Academie Royale des Siences", в которой были рассмотрены правила выполнения всех арифметических операций над двоичными числами. Лейбниц не рекомендовал двоичную систему для практических вычислений: он считал ее полезной лишь при рассмотрении теоретических вопросов. До начала 30-х гг. XX в. двоичная система счисления оставалась вне поля зрения прикладной математики. Потребность в создании надежных и простых по конструкции счетных механических устройств и удивительная простота двоичной арифметики привели к более глубокому изучению двоичной системы как системы, пригодной для аппаратурной реализации. Первые двоичные вычислительные механические машины были построены во Франции и Германии. Пионером в проектировании вычислительных устройств двоичного действия на электронно-ламповой основе является инженер Дж. Атанасов, болгарин по происхождению, проживающий в США. Одновременно с ним (1937) двоичную машину, но на релейной (электромагнитной) основе спроектировал Дж. Штибиц. В 1941 г. немецкий инженер К. Цузе построил сначала механическую, а затем и релейную двоичную вычислительную машину. История восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления не может сравниться по богатству событий с историей двоичной системы. В качестве любопытного курьеза можно упомянуть тот факт, что шведский король Карл XII в 1717 г. увлекался восьмеричной системой, и намеревался королевским указом ввести ее как общегосударственную.   Под системой счисления принято понимать совокупность правил для обозначения (записи) и наименования чисел. Системы счисления делятся на два вида: непозиционные и позиционные. Непозиционной системой счисления называется такая система, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (позиции) в ряду других цифр, изображающих число. Примерами таких систем являются унарная система и римская системы счисления. Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы, в которых значение каждой цифры в изображении числа зависит от ее положения (позиции) в ряду других цифр, изображающих число. Например, в десятичном числе 3638 имеется две цифры 3, но каждая из них имеет свой смысл: первая (справа налево) означает количество десятков в числе, а вторая - количество тысяч. Каждая система счисления имеет свое основание (базис). Базис системы счисления - это последовательность так называемых ключевых чисел, каждое из которых задает значение цифры " по месту". Например, базис двоичной системы счисления:..., 2n,.., 24, 23, 22, 21, 20; базис восьмеричной системы счисления:..., 8n,.., 82, 81, 80; В общем виде:..., qn=qn,..., q3=q3, q2=q2, q1=q, q0=1. Число q называют основанием системы счисления. Каждое число в любой из таких систем может быть записано в следующем виде: Aq= an*qn+an-1*qn-1+...+a2*q2+a1*q1+a0*q0+… (1) Примеры: 7268=7*82+2*81+6*80, 3185.3410=3*103+1*102+8*101+5*100+3*10-1+4*10-2. Запись числа в виде 7268 называется свернутой записью, а в виде 7*82+2*81+6*80 развернутой записью числа. Пользуясь формулой (1), можно переводить числа из любой системы счисления в десятичную. Достаточно лишь подсчитать значение получившегося выражения. Например: 1) перевести восьмеричное число в десятичную систему. 7428=7*82+4*81+2*80=7*64+4*8+2=48210 2) перевести двоичное число в десятичную систему. 1011, 12=1*23+0*22+1*21+1*20+1*2-1=8+2+1+0, 5=11, 510 Основанием двоичной системы является число 2, десятичной- 10, восьмеричной - 8 или 23, шестнадцатеричной- 16 или 24. Алфавитом системы счисления называется набор символов, с помощью которых обозначаются цифры, числа в данной системе. Например, алфавит двоичной системы состоит всего лишь из двух цифр - 0 и 1. Мы познакомимся с такими системами счисления, как двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Знание этих систем счисления имеет большое практическое значение. Обмен информацией между узлами и устройствами большинства современных ЭВМ осуществляется путем передачи командных слов, которые, как правило, являются двоичными словами. Использование двухбуквенного алфавита диктуется инженерными требованиями. Однако пользоваться словами, записанными в двоичной форме, из-за большой длины отдельных слов (до 64 букв в слове) и своеобразной " зрительной однородности" текста человеку неудобно. Поэтому программисты и инженеры, обслуживающие ЭВМ, заменяют все двоичные " машинные слова" на эквивалентные им восьмеричные или шестнадцатеричные слова и числа. В первом случае длина исходного слова сокращается в три раза, во втором - в четыре. Такие слова становятся более удобными для рассмотрения и запоминания. Алфавит двоичной системы - 0, 1 восьмеричной - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 десятичной - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 шестнадцатеричной - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Таким образом получается, что все числа в двоичной системе записываются при помощи только двух цифр, в восьмеричной при помощи восьми цифр, в десятичной при помощи десяти цифр, а в шестнадцатеричной - десяти цифр и шести букв	Записать в тетрадь таблицу и примеры         Записать в тетрадь определение и схему     Определения и примеры двух последних слайдов записать в тетрадь       Определение и алфавиты различных систем записать в тетрадь
2. Практическая часть
Переведите из десятичной системы счисления (арабской) в римскую числа Переведите из римской системы счисления в десятичную (арабскую) числа LX CXI MDCCCXII Запишите в развернутом виде числа. А10=143511   А8=143511   А7=5612, 306   А16=5678, 397     Напишите алфавит девятеричной системы счисления; Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа	XLV CM MDLIV       1*105+4*104+3*103+ +5*102 +1*101+1*100 1*85+4*84+3*83 +5*82 + +1*81+1*80 5*73+6*72+1*71 +2*70 + +3*7-1+0*7-2+6*7-3 5*163+6*162+7*161+ +8*160+3*16-1+9* 16-2 + +7*16-3 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
3. Домашнее задание
1. Конспект урока, выучить основные понятия темы. 2. Переведите из десятичной системы счисления (арабской) в римскую числа. а) 55 б)1500 в) 1917 3. Переведите из римской системы счисления в десятичную (арабскую) числа. а) XL б) IXC в) MCMLXI 4. Запишите в развернутом виде числа. а) А10=5678, 397 б) А7=143511 в) А8=5670, 327 г) А16=143511 5. Запишите алфавит: а) троичной системы счисления; б) шестеричной системы счисления. 6. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа. а) 222 б) 376 в) 555