Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры.

Геометрические характеристики поперечных сечений стержня

3.9. Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры

3.10. Осевые момента инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей.

3.11. Главные оси и главные моменты инерции.

3.12. Моменты инерции простых и сложных сечений

Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры.

При решении практических задач возникает необходимость в использовании различных геометрических характеристик попереч­ных сечений бруса. Настоящий раздел посвящен методам их опре­деления. Рассмотрим некоторое поперечное сечение в системе ко­ординат x, y (рис. 3.1) и рассмотрим два следующих интегральных выражения:

(3.1)

где нижний индекс у знака интеграла указывает на то, что интегри­рование ведется по всей площади сечения F. Каждый из этих инте­гралов представляет собой сумму произведений элементарных пло­щадок dF на расстояние до соответствующей оси (x или y). Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси x, а второй - относительно оси y.

При выполнении практических расчетов важно знать, как меняются статические моменты сечения при параллельном переносе координатных осей (рис 3.2).

Очевидно, что

x = x ₁ + a; y = y ₁ + b. (3.2)

Рис. 3.1. Рис. 3.2.

Подставляя (3.2) в (3.1) получим:

(3.3)

Величины а и b можно подобрать (причем единственным обра­зом) так, чтобы выполнялись следующие равенства:

b × F = S_x ; a × F = S_y , (3.4)

тогда статические моменты .

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка С (x_C , y_C) пересечения централь­ных осей называется центром тяжести сечения в системе координат (x, y) и определяется из (3.4):

. (3.5)

Далее предположим, что брус имеет составное сечение (рис. 3.3) с общей пло­щадью F. Обозначим через F_k (k = 1, 2, 3,..., n) площадь k -ой области, принадлежащей к составному сечению бруса. Тогда выраже­ние (3.1) можно преобразовать в следующем виде:

, (3.6)

где - статические моменты k -той области относительно осей x и y. Следовательно, статический момент составного сечения равен сумме статических моментов составляющих областей.