И контрольных работ

Задача №32. Вычислить сумму ряда с общим членом (-1)^(k -1)/ k ^2(k =1..¥). Найти формулу конечной суммы первых n членов его; уяснить смысл результата и записать объяснение. Вычислить эту сумму для n =5 и n =6. Сравнить эти числа с суммой ряда, оценить точность приближений.

Задача №33. Найти сумму ряда с общим членом 1/ k ^(3/2)(k =1..¥). Уяснить смысл результата, записать объяснение в файл. Вычислить результат. Построить график найденной функции в интервале аргумента 1.5..5.

Задача №34. Представить функцию f = cos(x) рядом Тейлора с точностью 1-го, 2-го, 3-го и 4-го приближения, подбирая в каждом случае число членов разложения таким, чтобы получить следующее приближение. Построить на одном рисунке графики точной функции и её аппроксимаций на интервале (0, p). Сравнить графики, сделать вывод о применимости аппроксимаций.

Задача №35. Для функции f = 4*cos(2* x) найти 4 первых приближения рядом Тейлора в окрестности т. 0, подбирая в каждом случае число членов разложения таким, чтобы получить следующее приближение. Построить на одном рисунке графики точной функции и её аппроксимаций на интервале (0, p). Сравнить графики, оценить применимость аппроксимаций.

Задача №36. Для функции f = 2*(sin(4* x))^2 найти 4 первых приближения рядом в окрестности т. Pi/2, подбирая в каждом случае число членов разложения таким, чтобы получить следующее приближение. Построить на одном рисунке графики точной функции и её аппроксимаций на интервале (Pi/4..3*Pi/4). Сравнить графики, оценить применимость аппроксимаций.

Задача №37. Для функции f = exp(- x ^2) найти 3 первых приближения рядом Тейлора в окрестности т. 0. Сравнить графики этих приближений с точным видом функции на интервале (-2..2). Сделать вывод об областях применимости аппроксимаций.

Задача №38. Частица колеблется по закону x = A *sin(w*t+b), где A, w, b – константы. Найти, в какие моменты равны нулю координата и скорость частицы, и действующая на неё сила (все решения). Вычислить эти моменты в первом полупериоде. Сверить найденные значения с графиками. [ A = 5, b = - Pi/4, w = 20].

Задача №39*. Материальная точка массы m колеблется по закону x = A *exp(- k*t)*cos(w*t). Вычислить отношение значения координаты по истечении 1-го периода к начальному значению её. Найти скорость и ускорение точки. Показать, что действующая на неё сила может быть представлена суммой силы, зависящей от координаты точки, и силы, зависящей от её скорости. Объяснить смысл этих двух сил. Построить на одном рисунке графики координаты, скорости и ускорения точки и прокомментировать рисунок. [ m =1, A =5, k =1/4, w =4]

Задача №40. Для условий предыдущей задачи №39 вычислить время, когда мгновенная скорость частицы станет равна 1/8.

Задача №41**. Одномерное движение частицы в поле постоянных сил в вязкой среде описывается уравнением: s = C 1*exp(- k*t) + C 2 + V*t; где t – время, k и V – заданные константы, С 1, С 2 – константы интегрирования. 1) Найти текущую скорость частицы v (t). 2) Определить С 1 и С 2 из начальных условий. x (0) = h0; v (0) =0 и подставить их значения в формулы пути и скорости. 3) Исследовать эти формулы в асимптотике по t (с точностью 3-го приближения) и найти предельное значение скорости, уяснить смысл параметра V. 4) Представить эти формулы рядом Тейлора при малых временах с точностью до 3-го приближения. 5) Представить на одном рисунке графики точной мгновенной скорости частицы, её приближённого выражения вблизи нуля и асимптотического выражения, оценить применимость приближённого выражения. 6) Представить на одном рисунке графики точной функции s, её приближённого выражения вблизи нуля и асимптотического выражения, оценить применимость приближённого и асимптотического выражений. Принять [ h 0=1, V =1/4, k =1/5, t =0..15].

Задача №42. Для функции y = sin(a*x)*exp(- b*x) найти неопределённый интеграл и определённые интегралы в пределах от 0 до Pi/ a и от 0 до 2*Pi/ a и вычислить их при [ a =1, b =1/2].

Задача №43*. Дана функция y = A *cos(w*t)*exp(- b*t) (w = 2*Pi/ T). Найти: 1) неопределённый интеграл этой функции; 2) определённый интеграл её в пределах t = 0.. T и вычислить его; 3) среднее значение этой функции за период (t 1.. t 1+ T). Построить график среднего значения в зависимости от t 1 [ A =20, b =1, T =1/5]. Указание: среднее значение определяется с помощью теоремы математического анализа о среднем.

Задача №44. Найти среднее значение случайной величины х, её квадрата x ^2 и функции x ^4 по распределению f = 2* Pi^(-1/2)*exp(- x ^2) на интервале -¥.. ¥. Указание: среднее значение определяется с помощью второй теоремы о среднем математического анализа.

Задача №45. Тело брошено вертикально вверх с поверхности земли с начальной скоростью v 0 и движется с ускорением свободного падения – g (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Найти интегрированием закон изменения его мгновенной скорости и высоты. Из условия определить константы интегрирования. Представить на одном рисунке графики ускорения, мгновенной скорости и высоты тела при g =10 и v 0=12 (СИ). Найти время падения и конечную скорость тела. Определить численные значения этих величин.

Задача №46*. С одной высоты h падают парашютист массой m и бомба той же массы. Для бомбы можно пренебречь сопротивлением воздуха и считать падение свободным. Для парашютиста закон изменения скорости v (t) = m*g/k *(exp(- k*t/m)-1), где k – коэффициент сопротивления среды. Найти интегрированием закон изменения высоты для обоих тел. Определить время падения парашютиста и бомбы, и конечные скорости их. Представить на одном рисунке график изменения высоты тел, приняв [ m =100, g =10, k =200, h =1000] (СИ).

Задача №47. Функция имеет вид: y= - a*x ^2 + b. Найти площадь фигуры, лежащей в положительной полуплоскости, образованной этой функцией и соответствующим отрезком оси Х. Вычислить эту площадь при a =1, b =2.

Задача №48. Функция имеет вид: y =2* Pi^(-1/2)*exp(- x ^2). Вычислить площадь фигуры, лежащей в положительной полуплоскости, образованной этой функцией, вертикалями х =0 и х =1, и отрезком оси Х.

Задача №49. Функция имеет вид: f =exp(- a*x ^2). 1) Найти неопределённый интеграл этой функции и выяснить смысл обозначений в ответе программы; представить на одном рисунке графики исходной функции и её первообразной в интервале (-3..3). 2) Найти определённый интеграл этой функции в интервале (0.. z). 3). 3) Найти определённый интеграл этой функции в интервале (0..¥). Вычислить определённые интегралы при a=1/4.

Задача №50. Дана функция: f=C *exp(- a*x ^2). Найти, при каком значении константы С интеграл этой функции в бесконечных пределах =1. При необходимости задать условие на константу а, приводящее к конечному значению интеграла. Проверить результат вычислением интеграла при a =1/2.

Задача №51. Дана функция: f=x *exp(- x ^2). Найти 1) её неопределённый интеграл; 2) её определённый интеграл в пределах 0.. а; 3) её определённый интеграл в пределах - а..а; 4) её определённый интеграл в пределах 0..¥; 5) её определённый интеграл в пределах -¥..¥. Построить график функции f и её первообразной на интервале (-2..2) и объяснить результаты п.п. 3 и 5.

Задача №52. Найти интегрированием объём и массу конуса радиусом основания R и высотой h при плотности однородного вещества d. Вычислить результат для R=2, h =6, d =3.

Задача №53 *.Найти объём эллипсоида вращения, заданного уравнением: x ^2/ a ^2 + y ^2 /a ^2 + z ^2/ b ^2 = 1, и вычислить его при a =3, b =2.

Задача №54*. Шар радиуса R равномерно заряжен по поверхности зарядом Q и создаёт вне шара электрическое поле с кулоновской напряжённостью E (внутри шара поля нет).Закон Кулона принять в виде F = k*Q*q/r ^2. Плотность энергии электрического поля вне шара w = E ^2/2. Найти полную энергию поля во всём бесконечном объёме. [ k =1, Q =1, R=1/100]

Задача №55*. Газ заключён в вертикальный цилиндр с радиусом основания а и высотой h. Найти массу газа, если его плотность изменяется с высотой z по закону d = d 0*exp(- m*g*z / R / T) (m – молярная масса газа, g – ускорение свободного падения, R – универсальная газовая постоянная, Т - абсолютная температура, d 0 – плотность на дне цилиндра). Сравнить результат со случаем, когда плотность газа во всём цилиндре = d 0. Принять [ m =0.028; g =10; R =8, 3; T =300; a =2; h =50; d 0=1.25] (СИ).

Задача №56. Для условий предыдущей задачи №55 найти среднее по объёму цилиндра значение координаты z. Указание: среднее значение определяется с помощью второй теоремы о среднем математического анализа.

Задача №57*. Составить и решить, при заданных начальных условиях, систему дифференциальных уравнений движения снаряда, выпущенного под углом а к горизонту с начальной скоростью v 0, пренебрегая сопротивлением воздуха. Получить уравнение его траектории. Построить графики изменения координат со временем и траекторию. Найти время, дальность и наибольшую высоту его полёта - аналитическим решением и графически. Для графиков и расчётов принять [ v 0=400, a =Pi/6, m =20, k =1/2, g =10].

Задача №58*. Составить и решить, при заданных начальных условиях, систему дифференциальных уравнений движения снаряда массой m, выпущенного вертикально с начальной скоростью v 0, с учётом сопротивления воздуха в виде силы Стокса F s = - k * v (v – мгновенная скорость снаряда, k –коэффициент вязкого трения). Построить графики изменения его высоты и скорости со временем. Найти время подъёма, падения и всего полёта снаряда, наибольшую высоту его полёта и скорость в момент падения - аналитическим решением и графически. Найти вид решения в пределе k ®0, и поместить графики, получаемые в этом пределе на тех же рисунках. Сравнить этот предельный случай с исходным решением. [ m =20, v 0=400, g =10, k =1] (СИ)

Задача №59**. Составить и решить, при заданных начальных условиях, систему дифференциальных уравнений движения снаряда массой m, выпущенного под углом b к горизонту с начальной скоростью v 0, с учётом сопротивления воздуха в виде силы Стокса F s = - k * v (v – мгновенная скорость снаряда, k –коэффициент вязкого трения). Получить уравнение его траектории. Построить графики изменения координат со временем и траекторию. Найти время, дальность и наибольшую высоту его полёта - аналитическим решением и графически. Найти вид решения в пределе k ®0, и поместить графики и траекторию, получаемые в этом пределе на тех же рисунках. Сравнить этот предельный случай с исходным решением. [ m =20, b = Pi/6, v 0=400, g =10, k =1/2] (СИ)

Задача №60 *. Составить и решить при данных начальных условиях дифференциальное уравнение одномерного движения частицы массой m, колеблющейся вдоль OX под действием квазиупругой силы F 1 = - m*w ^2* x и силы вязкого трения F 2= - k^v (w – частота собственных колебаний, k – коэффициент затухания, v – скорость частицы). Начальные условия: x (0)= A; v (0)=0. Для случая А =1, m =1, w =20, k =2 на одном рисунке построить графики изменения координаты и скорости частицы, найти отношение амплитуды при t =1 к начальной амплитуде.

Задача №61 *. В момент 0 с высоты h сброшен парашютист массы m без начальной скорости. Составить и решить дифференциальное уравнение его движения и найти его скорость. Сила сопротивления воздуха F s = - k * v. Вычислить время спуска и скорость в момент приземления. Принять m =100, h =1000, k =250, g =10 (СИ). Найти те же величины при k=0. Построить графики высоты и скорости, сравнить график скорости с графиком для свободного падения.

Задача №62 * *. Парашютист массой m раскрыл парашют в момент 0 на высоте h, имея начальную скорость падения v 0. Составить и решить дифференциальное уравнение его движения и найти его скорость. Сила сопротивления воздуха F s = - k * v. Найти, каков должен быть коэффициент сопротивления парашюта k, чтобы скорость парашютиста в момент приземления равнялась V. Вычислить время спуска при найденном k. Принять [ m =120, h =1000, v 0=10, V= 4, g =10] (СИ).. Построить график зависимости конечной скорости от k. Построить график скорости, сравнить его с графиком для свободного падения.

Задача №63 **. В момент 0 с высоты h сброшена бомба массы m с горизонтальной начальной скоростью v 0. Составить и решить дифференциальные уравнения движения бомбы по осям x и y c учётом сопротивления среды. Сила сопротивления воздуха F s= - k * v. Найти уравнение траектории бомбы. Найти время и горизонтальную дальность полёта бомбы при [ m = 200, v 0=100, h =1000, k =5, g =10] (СИ). Построить графики изменения её координат. Дать на одном рисунке найденную траекторию и траекторию при k =0. Проверить аналитическое решение графически. Оценить влияние сопротивления воздуха на горизонтальную дальность полёта бомбы.

Задача №64 * *. В момент t =0 с высоты h выпущена пуля с начальной скоростью v 0 под углом b к горизонту. Составить и решить дифференциальные уравнения движения пули по осям x и y. Сила сопротивления воздуха F s= - k * v. Аналитическим решением найти время и дальность полёта пули. Вычислить время и дальность полёта в двух случаях: 1) b =0 и 2) b =Pi/4 при [ v 0=300, h =2, g =10, k =1/800, m =1/100] (СИ). Найти уравнение траектории пули. Построить графики координат пули и её траекторию для обоих случаев. Сверить найденные числа с графиками.

Задача №65 *. Шарик массой m подвешен на пружине с коэффициентом упругости k в поле тяжести. В начальный момент шарик имеет координату B в лабораторной СО, после чего отпущен без начальной скорости. Составить и решить дифференциальное уравнение движения шарика и найти закон изменения его скорости. Найти координату положения равновесия в лабораторной СО, амплитуду и угловую частоту колебаний шарика - аналитически и численно. Найти моменты, в которые его скорость имеет экстремумы, и вычислить экстремальное значение скорости (в 1-м полупериоде). Построить графики изменения координаты и скорости шарика. Для графиков и вычислений принять [ B =0, m =0.005, k =0.08, g =9.81](СИ).

Задача №66 *. Составить и решить дифференциальное уравнение 1-мер-ного движения частицы массой m, движущейся вдоль OX с начальной скоростью v 0, если в момент 0 на неё начинает действовать периодическая сила F = A *sin(w*t). Найти закон изменения скорости частицы. Построить графики изменения координаты и скорости частицы, приняв [ A = 20, m = 1, w = 10 (СИ), для двух случаев: 1) v 0 = 1/2 и 2) v 0= - 1/2. Для этих случаев определить, имеет ли координата экстремумы и вычислить момент 1-го экстремума, если он есть.

Задача №67. Составить и решить дифференциальное уравнение 1-мерного движения частицы массой m под действием квазиупругой силы F = - k*x. Определить частоту и период колебаний. Рассмотреть следующие случаи НУ: 1) x (0) = 0, D(x)(0) = 0. 2) x (0) = x 0, D(x)(0) = 0. 3) x (0) = 0, D(x)(0) = v 0. 4) x (0) = x 0, D(x)(0) = v 0. Построить на одном рисунке графики полученных решений. Построить на одном рисунке графики скорости для всех данных НУ. Построить на одном рисунке графики координаты, скорости и ускорения для случая 2). Для графиков принять m = 1, x 0=2, v 0=10, k = 400 (СИ).

Задача №68. Частица находится в плоскости XY, где на неё действует сила с проекциями Fx= - k*x, Fy= - k*y. Составить и решить дифференциальные уравнения движения частицы по осям x и y. Принять: начальные значения координат x (0)= A, y (0)=0; начальные значения скоростей vx (0)=0, vy (0)= V. Определить траекторию частицы и изобразить её на графике для случая [ A =20, V =1, m =1, k =1/100] (СИ).

Задача №69 **. Записать и решить дифференциальное уравнение 1-мерно-го движения частицы массы m под действием квазиупругой силы F 1= - k*x и силы затухания, пропорциональной скорости частицы, F 2= - b*v. Начальные условия: x (0)= A, D(x)(0)= 0. Дополнительное условие: (b /2/ m)^2 – k/m = - W ^2 < 0. При этом условии преобразовать решение к тригонометрическим функциям в виде затухающих колебаний. Гиперболические функции преобразовать в экспоненту. Найти предельное решение при b => 0. Определить и вычислить частоты и периоды колебаний при наличии и отсутствии затухания. Вычислить отношение амплитуды затухающих колебаний по истечении периода к начальной амплитуде. Построить график полученного решения и график его огибающей. Сравнить вычисленные величины с их значениями, найденными из графика. Для графиков и вычислений принять [ m = 1, A = 1, b =4, k = 400] (СИ).

Задача №70**. Решить дифференциальное уравнение 1-мерного движения частицы массы m под действием квазиупругой силы F 1=- k*x и внешней периодической силы F 2= F 0*sin(u*t). Начальные условия: x (0)= A, D(x)(0)=0. Принять k=m*w ^2. Указать члены решения, соответствующие свободным и вынужденным колебаниям. Построить графики полученных решений при m =1, A =1, F 0=5, w =10 для случаев u =8 и u =10.2. Из графиков приблизительно определить периоды высокочастотной и низкочастотной составляющих колебаний. Объяснить рост амплитуды колебаний во втором случае. Определить коэффициенты при синусоидах с собственной и вынужденной частотой, вычислить их значения для u =8 и u =10.2, и построить графики их зависимости от u при заданных выше прочих параметрах (при построении графиков исключить малую окрестность особой точки). Построить графики скоростей для двух указанных случаев.

Задача №71*. Торпеда массой m и объёмом V выпущена на глубине h и движется в воде с горизонтальной постоянной скоростью v 0. Ориентация торпеды неизменна. Для вертикального движения торпеды учесть силу сопротивления воды в виде Fs = - k*vy, где vy – мгновенная вертикальная скорость торпеды. Составить и решить дифференциальные уравнения её движения, определить её траекторию. Найти, когда и на каком расстоянии она вышла бы к поверхности воды, если бы на ней не было рулей глубины. Построить графики изменения её координат и её траекторию; сравнить данные графиков с результатами вычислений. Принять (в СИ): [ g =9.8, h =30, m =950, V =1, v 0=25, k =300].

Задача №72**. Ныряльщик, имеющий массу m и объём V входит в воду с начальной скоростью v 0, под углом b к поверхности. Сила сопротивления воды в приближении Стокса F s=- k * v. Составить и решить дифференциальные уравнения движения ныряльщика по осям x и y, предполагая, что он после вхождения в воду не совершает никаких движений. Найти уравнение его траектории. Определить формулами и вычислить, сколько времени он проведёт под водой, на какую наибольшую глубину погрузится и насколько далеко вынырнет от точки входа в воду. Построить графики изменения его координат и его траекторию; сравнить данные графиков с результатами вычислений. Принять (в СИ): [ g =10, m =80, V =0.09, v 0=10, b = -Pi/6, k =130].