ПРИЛОЖЕНИЕ. Решить систему линейных уравнений методом простой итерации

Решить систему линейных уравнений методом простой итерации. Предполагается в дальнейшем, что матрица А квадратная и невырожденная.

Приведем исходную систему к равносильной ей системе вида:

Правая часть этой системы определяет отображение F: , ,

преобразующее точку (x₁, x₂, …, x_n) п -мерного векторного пространства в точку (у ₁, у₂, …, у_n) того же пространства. Используя отображение F и выбрав начальную точку , можно построить итерационную последовательность точек п -мерного пространства (аналогично методу простой итерации для уравнения x = f (x)):

Если отображение F является сжимающим, то эта последовательность сходится и ее предел является решением системы.

Отображение F будет сжимающим, если выполняется хотя бы одно из условий:

а) в пространстве с метрикой ρ ₁:

б)в пространстве с метрикой ρ ₂:

в) в пространстве с метрикой ρ ₃:

Процесс вычислений заканчиваем при выполнении условия

Алгоритм решения системы методом итераций реализуется следующей последовательностью действий.

1. Привести исходную систему к системе с преобладающими диагональными коэффициентами и разделить каждое уравнение на соответствующий диагональный коэффициент.

2. Проверить выполнение условий сходимости.

3. Выбрать метрику, для которой выполняется условие сходимости итерационного процесса.

4. Реализовать итерационный процесс (за начальное приближение обычно берется столбец свободных членов)