Метод секущих

Метод реализуется алгоритмом метода хорд, только a и b взяты с одной стороны от корня и не фиксируются. Геометрическая интерпретация метода состоит в следующем

(рис. 1.4). Через точки

a 0, b 0

проводим прямую (секущую)

до пересечения с осью Ох. Получаем точку

x 2 и из нее

восстанавливаем перпендикуляр к оси Ох до пересечения с

графиком функции y = f(x). Получим точку

b 1. Через точки

a 1 = b 0 и b 1

проводим секущую – получим точку x 3

(пересечение секущей с осью Ох) и т. д.

Метод Ньютона (касательных)

Метод основан на замене f(x) в точке начального

приближения

x 0 касательной, пересечение которой с осью

Оx дает первое приближение

x 1, и т.д. Популярность метода

связана с тем, что здесь не требуется находить отрезок, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков. Вместо интерполяции по двум значениям метод Ньютона использует экстраполяцию с помощью касательной в данной точке. Геометрическая интерпретация метода приведена на рис. 1.5. Приняв в

качестве начального приближения к корню x*

некоторое

значение x0, восстанавливают перпендикуляр из точки x0 к оси Ох. В точке его пересечения с графиком функции y=f(x), для которой отыскивается нуль, проводят касательную к кривой. Точка пересечения касательной с осью Ох дает новое

приближение x 1 к корню. После этого процесс повторяют для точки x 1 и т. д.

Получим формулу метода Ньютона. Уравнение

касательной в точке

x 0 - это уравнение прямой, проходящей

через заданную точку

(x 0, f (x 0))

и имеющую угловой

коэффициент

f ′ (x 0):

y − f (x 0) =

f ′ (x 0)(x − x 0).

В точке

x 1 пересечения этой касательной с осью ОХ

величина y равняется нулю:

− f (x 0) =

f ′ (x 0)(x 1 − x 0).

Отсюда получим значение

x 1:

f(x 0 )

x 1 = x 0 −

.

f ( ′ x 0 )

В общем случае очередное приближение

xk +1

выражается

через предыдущее приближение

xk по формуле Ньютона:

xk +1

= xk −

f(xk)

f ( ′ xk)

(1.2)

К этому же результату можно прийти, используя разложение

функции f(x) в ряд Тэйлора в окрестности точки

h 2

xk:

f (xk + h) =

f (xk) + h ⋅ f ′ (xk) + 2

f ′ (xk) +...

(1.3)

Отбросим члены, содержащие h во второй и более высоких

степенях, и выберем h таким, чтобы функция f(x)

в точке

xk +1 = xk + h равнялась нулю. Тогда (1.3) принимает вид:

или

0 = f (xk) + (xk +1 − xk) ⋅ f ′ (xk)

xk +1

− xk

= − f (xk),

f ′ (xk)

откуда следует формула Ньютона (1.2). Т.к. в ряде Тэйлора были отброшены члены высших порядков, то в полученной

точке

xk +1 функция f(x) не будет в точности раняться нулю и

нужно повторить вычисления, взяв вместо xk

приближение xk +1.

полученное

Порядок сходимости метода Ньютона равен 2. Выигрыш во времени вычислений за счет быстрой (квадратичной) сходимости несколько уменьшается из-за необходимости

вычисления помимо

f(x k)

производной

f ( ′ xk).

Достоинством этого метода является также то, что он может быть распространен на решение систем НАТУ.