Основные традиционные методы обучения математике

Традиционная дидактическая теория видела свою важнейшую задачу в том, чтобы приобщить учащихся к обобщенному и систематизированному опыту человечества. Из этого вытекало утверждение ведущей роли теоретических знаний в содержании обучения, ориентация на усвоение основ наук. При таком подходе цели обучения сводятся к усвоению его содержания, а содержание обучения отождествляется с содержанием образования. Поэтому еще с древних времен известен догматический способ обучения (в восточной культуре – «учитель в роли гуру»): содержание материала должно быть усвоено в том виде, в каком дается учителем, сам термин «усвоение знаний» предполагает отсутствие необходимости прилагать усилия к самостоятельному выявлению этого знания. Его разновидности мы называем традиционными методами обучения. В обучении математике это – рассказ и лекция учителя, самостоятельная работа учащихся с учебником, самостоятельные упражнения тренировочного характера, катехизический (вопросно-ответный) метод или беседа.

1.1. Рассказ или лекция – метод обучения, применяемый обычно при изложении нового материала: учитель систематически излагает материал, учащиеся должны его воспринять, осознать, зафиксировать в тетрадях и запомнить. Таким образом, активная роль в этом случае принадлежит учителю - он сообщает исторические справки, даёт различные пояснения, показывает практические применения теории. Но во всех случаях рассказ или лекция должны пробуждать у учащихся интерес и потребность в умственной деятельности, они должны быть поучительными для учащихся, являясь своеобразным эталоном математического стиля изложения. Если рассказ занимает, как правило, часть урока, то лекция (особенно в старших классах) может быть посвящена большому блоку учебного материала, сопровождаться значительными и сложными математическими выкладками, обобщающими схемами и занимать весь урок. Таким образом, лекционный метод обучения применяется в том случае, когда учебный материал слишком сложен для изучения, или важен с точки зрения целостности его восприятия, или не вызывает у учащихся познавательного интереса. Читая лекцию, учитель должен следовать определенному плану, выделять главное, четко и ясно записывать на доске, учить учащихся делать то же самое в тетрадях; все это, кроме непосредственного обучения, готовит учащихся к продолжению образования в высшей школе.

1.2. Самостоятельная работа учащихся, т.е. их работа в отсутствии учителя или, по крайней мере, без обращения к его помощи в течение какого-то промежутка времени, является важнейшей частью всей работы по изучению математики. Многие вопросы школьного курса математики могут быть успешно изучены учащимися самостоятельно с помощью учебника, так как учебник имеет обучающую функцию, во многом аналогично функции учителя. Но от учителя зависит сделать процесс приобретения знаний с помощью учебника более успешным – научить учащихся самостоятельно приобретать знания, научить их учиться. Наиболее распространенными являются следующие виды работы с учебником: 1) чтение текста вслух; 2) чтение текста про себя; 3) воспроизведение содержания прочитанного вслух; 4) обсуждение прочитанного материала; 5) разбиение текста на смысловые части (в начале с помощью учителя, потом самостоятельно), выделение главного; 6) самостоятельное составление плана прочитанного, который может быть использован учеником при подготовке к ответу; 7) работа с оглавлением и предметным указателем; 8) работа с рисунками и иллюстрациями; 9) работа над понятием, термином; 10) составление конспекта схемы, таблицы, графика на основе материала, изученного по учебнику.

Одним из способов организации работы учащихся с учебником математики является формирование приёмов этой работы. Приводим примерный состав некоторых из них.

Общий прием работы с учебником математики:

1) найти задание по оглавлению;

2) обдумать заголовок (т.е. ответить на вопросы: о чем пойдет речь? Что мне предстоит узнать? Что я уже знаю об этом?);

3) прочитать содержание пункта (параграфа);

4) выделить все непонятые слова и выражения и выяснить их значение (в учебнике, справочнике, у учителя, родителей, товарищей);

5) задать по ходу чтения вопросы и ответить на них (О чем здесь говорится? Что мне уже известно об этом? Что именно об этом сообщается? Чем это объяснить? Как это соотносится с тем, что я уже знаю? С чем это нужно не перепутать? Что из этого должно получиться? Для чего это делается? К чему это можно применить? Когда и как применять?);

6) выделить (выписать, подчеркнуть) основные понятия;

7) выделить основные теоремы или правила.

8) изучить определения понятий;

9) изучить теоремы (правила);

10) разобрать иллюстрации (чертеж, схему рисунок);

11) разобрать примеры в тексте и придумать свои;

12) провести самостоятельно доказательство теоремы;

13) составить схемы, рисунки, чертежи, используя свои обозначения;

14) запомнить материал, используя приемы запоминания (пересказ по плану, чертежу или схеме, мнемонические приемы, повторение трудных мест)

15) ответить на конкретные вопросы в тексте;

16)придумать и задать себе такие вопросы.

Составление плана ответ по математике:

1) выделить понятия, которым нужно дать определения;

2) выделить теоремы, правила, которые нужно сформулировать и доказать;

3) выделить определения, теоремы, правила, на которые нужно сослаться при доказательстве;

4) составить доказательство теоремы или правила;

5) продумать записи на доске во время ответа;

6) показать, где и как применяется теорема (правило);

7) сделать вывод.

(См. Также [1], [86] и др.).

Приём усвоения теоремы:

1) прочитать формулировку теоремы, понять ее смысл, используя имеющийся в книге чертеж, схему или рисунок;

2) если такого чертежа в книге нет, сделать его самому; если есть - самостоятельно воспроизвести его;

3) изучить содержание теоремы в деталях - выделить условие и заключение, записать их с использованием обозначений и чертежа;

4) выучить формулировку теоремы;

5) прочитать доказательство, обосновывая каждый шаг, следя по чертежу и стараясь при первом чтении понять основную его идею;

6) при вторичном чтении уделить внимание деталям доказательства, обоснованию его шагов; если что-то забыто, восстановить в памяти;

7) воспроизвести доказательство (устно или письменно);

8) сделать другой (свой) чертеж, доказать с его помощью теорему самостоятельно;

9) если нужно, проверить себя, прочитав доказательство ещё раз;

10) попробовать найти другой способ доказательства;

11) если в изучаемом материале не все понятно, отметить неясное и обязательно обратиться к учителю.

1.3. Как правило, почти на каждом уроке математики проводятся самостоятельные работы тренировочного характера для закрепления изученного, для его применения, для овладения необходимыми умениями и навыками. Они состоят обычно из типовых упражнений и задач (т.е. заданий, выполняемых по «образцу»), аналогичных тем, которые выполнялись с помощью учителя. Это могут быть также: самостоятельное воспроизведение известных учащимся выводов формул, доказательства теорем, составления таблиц и т.п., составление задач и упражнений самими учащимися, организация работы над ошибками.

Существуют различные трактовки терминов «задача» и «математическая задача», одна из них звучит так: математическая задача - это математический вопрос, ответ на который не является непосредственным и не может быть получен путем прямого применения известных схем. Для математической задачи прямым продуктом её решения является получение математического факта, причем под математическим фактом понимают числа, выражения, формулы, корни уравнения, свойства математических понятий, отношения между ними. Решение математической задачи выполняется на основе и с помощью мыслительных операций, общих учебных и специальных математических действий, конкретных методов решения определенных типов математических задач.

Задачу можно считать решенной тогда и только тогда, когда найденное решение: 1) безошибочно, 2) обосновано, 3) имеет исчерпывающий характер. Эти требования являются совершенно категорическими: если не выполнено хотя бы одно из них, то решение считается непригодным или неполноценным. Кроме этих трех обязательных требований, существуют еще четыре необязательных, но желательных: 4) решение должно быть по возможности простым, 5) оно должно быть правильно оформлено, б) желательно, чтобы был ясен путь, приводящий к решению, 7) иногда желательно обобщение решения задачи.

Существуют различные классификации математических задач в шко­льном курсе математики. Традиционно задачи делятся в зависимости от содержания на арифметические, алгебраические, геометрические и т.д.; по основному способу решения - на задачи на доказательство, на вычисление, на построение; эту классификацию можно продолжить, детализируя методы решения. Д. Пойа впервые предложил разделить математические задачи на стандартные и нестандартные задачи. Стандартные задачи бывают в основном двух типов: задача, требующая простого применения хорошо известного правила или алгоритма, и задача, представляющая собой простой вопрос словаря (относящийся к термину или символу). Нестандартная задача – задача, которая не решается по известному алгоритму (стандарту), требует определенной степени творчества и оригинальности со стороны ученика.

Известно также деление задач на легкие и трудные, как и требование располагать тренировочные задачи для самостоятельной работы в порядке нарастания трудностей, так, чтобы определенная часть их была доступна для выполнения учащимися разного уровня. В современной методике обучения понятие трудности задачи является одной из нерешенных проблем.

Ему пытались дать определение такие ученые-методисты, как А.А. Столяр, Ю.М. Колягин, М.И. Махмутов, В.И. Крупич, Р.А. Гильманов. Так, В.И. Крупич считает, что задача, как сложный объект, имеет внешнее строение - информационную структуру, и внутреннее устройство - внутреннюю структуру. Информационная структура - это данные, искомые и отношения между ними, а также базис (теоретическая основа) решения и способ решения задачи. Она определяет степень проблемности задачи – один из основных компонентов ее трудности. Трудность задачи является психолого-дидактической категорией и представляет собой совокупность многих субъективных факторов, зависящих от особенностей личности – степень ее новизны, интеллектуальные возможности учащегося, его потребности и интересы, опыт решения задач, уровень владения интеллектуальными и практическими умениями и др. Сложность задачи является её объективной характеристикой, не зависящей от субъекта. Она определяется числом элементов (минимальных компонентов задачи), связей и видов связей между ними, которые образуют ее внутреннюю структуру [43].

1.4. Одним из важных видов самостоятельной работы является выполнение домашних заданий, используемых, главным образом, для закрепления изученного. Для организации этой работы необходим четкий инструктаж о том, как и что, делать дома, желательно информировать, родителей о том, как учащиеся должны готовить домашние задания по математике, как они должны работать с книгой, вести тетрадь и т.д. Учащимся можно рекомендовать следующие общие приемы:

Организация домашней работы по математике:

1) ознакомиться с заданием;

2) вспомнить, что изучали на уроке, просмотреть записи в тетради;

3) прочитать и усвоить материал учебника;

4) выполнить письменные задания;

5) составить план ответа.

Выполнение письменной домашней работы:

1) прочитать задания, изучить их;

2) продумать, какие правила и приемы следует применить для их выполнения, пользуясь, если нужно, предыдущей письменной работой, общими и частными приемами решения задач;

3) если нужно, выполнить задания полностью или частично на черновике;

4) проверить тем или иным способом решения задач;

5) записать выполненные задания в тетрадь, соблюдая правила ведения тетради по математике.

1.5. Катехизический или вопросно-ответный метод (беседа) – это такой метод обучения, при котором учащиеся приходят к новым для них знаниям, отвечая на вопросы, соответствующим образом подобранные учителя.

Говорят, что обучение – это искусство находить вопросы и задавать их. На этом поприще снискал себе славу древнегреческий философ Сократ – он никогда не поучал, не писал философских трудов, а просто сидел на шумной городской площади, беседуя с молодежью, чередуя вопросы с ответами. Хороший вопрос помогает, по словам Сократа, «мысли родиться». К.Д. Ушинский отмечал: «Лучшим способом перевода механических комбинаций в рассудочные мы считаем для всех возрастов и в особенности для детского метод, употреблявшийся Сократом и названный по его имени «сократовским».

Беседа как метод обучения должна удовлетворять требованиям:

1) Она уместна тогда, когда нужно сконцентрировать внимание учащихся на известных им фактах, сравнить или обобщить их, а не открывать, новые.

2) Система вопросов учителя должна обладать логической последовательностью, отражающей особенности содержания материала, метода доказательства или решения, цели обучения, времени и места беседы в структуре урока, соответствовать объему известного учащимся материала.

3) Вопросы должны быть педагогически целесообразны, т.е. давать простор для мышления, не допускать ответа, копирующего учебник, достаточно сложны, но посильны для среднего учащегося.

4) Вопросы необходимо расположить последовательно, по мере возрастания их сложности и трудности, и так, чтобы вся их совокупность раскрывала изучаемую тему.

5) Вопросы должны быть сформулированы кратко и четко, нужно избегать неопределенных вопросов (типа «что можно сказать о данном чертеже, выражении?» и т.п.), они должны возбуждать интерес учащихся.

6) Интервалы между вопросами могут быть различными, но достаточными для обдумывания ответа.

7) Одновременно следует предлагать только один вопрос, двойные вопросы дезорганизуют мышление и задерживают ответы учащихся.

8) Вопросы не должны быть подсказывающими или частично содержащими в себе ответы («не будет ли данный отрезок медианой треугольника?»), не должны быть альтернативными (ответ на которые исчерпывается словами «да» или «нет»).

9) Вопрос задается всему классу; ошибочно сначала указать, кто должен отвечать, а потом формулировать вопрос. Наряду с этим, полезно наметить и то, какой вопрос будет задан тому или иному учащемуся, кого лучше вызвать в ходе беседы к доске, а кого лучше спросить с места.

10) Если учащиеся затрудняются ответить на вопрос, то можно разбить его на более мелкие, или перефразировать, или, в крайнем случае, ответить самому учителю. Поэтому при подготовке к беседе учителю нужно сформулировать не только основные, но и все дополнительные вопросы для учащихся (и даже возможные ответы на них).

11) Ответ ученика должен быть точным и полным, но нельзя браковать правильные ответы, если они не такие, как запланировал учитель. Если ответ по существу правильный, но понятен не всем учащимся класса, или уводит в сторону, его нужно поправить дополнительными вопросами.

12) В ходе беседы можно использовать наглядные пособия и дидактические материалы, которые в этом случае заранее готовятся.

13) По окончании беседы учителем обязательно подводится итог, в котором выделяется то главное, ради чего была проведена эта беседа.