Дидактические принципы в обучении математике

Педагогические принципы – это основные идеи, следование которым помогает наилучшим способом достигать поставленных целей. Это понятие пришло из философии и определяется по-разному: исходные положения какой-либо теории, убеждения или взгляды, первоначальные, руководящие идеи, основные правила поведения, логическое начало какой-нибудь деятельности, основные требования, предъявляемые к чему-либо.

Дидактические принципы – это исходные положения теории обучения, общие требования педагогики к процессу обучения, определяемые целями обучения и воспитания, потребностями общественного развития, особенностями Учебной деятельности учащихся. Принципы дидактики определяют методы обучения, т.е. методы обучения строятся так, чтобы возможно лучше обеспечить реализацию принципов дидактики. Дидактические принципы взаимосвязаны, образуя некоторую систему, которая варьируется с точки зрения различных подходов обучению и с течением времени.

Система педагогических принципов формировалась постепенно. Так еще с древних времен известны два принципа, вытекающие из особенностей человека как главного объекта педагогики – принцип природосообразности и принцип гуманизации. Первый из них, видоизменяясь, носил название учета возрастных и индивидуальных возможностей учащихся; второй может рассматриваться как принцип социальной защиты растущего человека, опоры на его положительные качества, гуманистического и гуманитарного просвещения. Так же давно известны еще два принципа, как наиболее общие требования к педагогическому процессу - принцип целостности (в традиционной трактовке – научности, единства теории и практики) и принцип демократизации - предоставление учащимся определенных свобод для саморазвития, саморегуляции и т.п. (принцип самостоятельности и активности). Наиболее общие требования к тому, какими должны быть отношения педагогического процесса со средой формулируются в принципах культуросообразности (максимального использования в образовании и воспитании культуры той среды, в которой находится учебное заведение), единства и непротиворечивости действий учебного заведения и образа жизни учащихся.

Мы рассмотрим систему дидактических принципов в следующем варианте: научность обучения, доступность, сознательность усвоения учащимися, активность и самостоятельность учащихся, наглядность, индивидуальный подход, принцип воспитывающего и развивающего обучения, единство теории и практики (принцип политехничности), принцип прочности знаний. В настоящее время к этой системе иногда – добавляют, как отвечающие современности, принципы гуманизации и гуманитаризации, народности и региональности, дифференциации обучения и другие, но можно показать, что они вписываются в отмеченную выше традиционную систему дидактических принципов, наполняя их современным содержанием.

1.1. Научность обучения состоит в том, что его содержание должно (по возможности) соответствовать уровню современной науки; преподноситься учащимся в определенной дидактической системе, отражающей научную систему, и в определенной последовательности, сохраняющей связи понятий, тем, разделов внутри каждого предмета и между ними; создавать у учащихся представления об общих закономерностях и методах научного познания. Иногда в педагогической литературе принцип называется принципом «научности, систематичности и последовательности»; но понятие «научность» включает в себя систематичность и последовательность, что особенно свойственно математической науке, поэтому мы ограничиваемся этим кратким названием.

Таким образом, школьные курсы не должны отождествляться с научными курсами. Школьный предмет получается в результате дидактической обработки научной системы. Дидактическая система не воспроизводит, а отражает систему науки, сохраняя по мере возможности в общих чертах присущую ей логику и систему знаний; в ней последующее опирается на предыдущее, раскрываются внутренние и внешние связи между научными понятиями и закономерностями. Кроме того, она соответствует психологическим особенностям и возможностям учащихся, о чем ещё скажем ниже.

Научность в обучении математике можно сформулировать так же, как категорическое требование не сообщать учащимся ничего, отвергаемого современной математикой, ничего такого, от чего при углубленном изучении вопроса придется отказаться. Лучше сообщить какие-то предложения без доказательства, если они учащимся недоступны или нет времени на их изучение. В истории отечественной педагогики были периоды, когда нарушался принцип научности, например, известный «метод проектов» (обучение математике предлагалось строить, исходя из тех практических задач, которые ставит окружающая действительность). В настоящее время нарушения принципа научности чаще бывают связаны с недостаточной подготовленностью учителя в этом вопросе.

1.2. Принцип доступности, на наш взгляд, второй аспект принципа научности, связанный не с математикой, а с психологией. Он требует учета закономерностей усвоения знаний в связи с возрастными особенностями учащихся. Однако не следует понимать доступность как учение без трудностей; наоборот, учащихся необходимо учить преодолевать трудности, так как учебная деятельность требует определенных усилий в достижении поставленных целей. Реализация принципа доступности предполагает выполнение ряда дидактических правил. Следовать в обучении: а) от простого к сложному; б) от легкого к трудному; в) от известного кнеизвестному. Легко видеть, что их выполнение предопределяется соблюдением рассмотренного выше принципа научности. Кроме того, это связано и с соблюдением принципа индивидуального подхода к обучению, о котором - ниже.

1.3. Термин «сознательность усвоения» понимается в широком и в узком смысле слова. Сознательность, в узком смысле слова означает, что учащийся понимает точный смысл каждого термина, правила, теоремы, понимает и знает её вывод и ближайшие следствия, умеет пользоваться этим при решении задач. Сознательность в широком смысле слова означает, что учащийся не только понимает отдельный вывод, но и знает на доступном для него уровне, почему и с какой целью изучается данный раздел, какова его роль во всем курсе, в науке, его связь с жизнью и т.д. Именно такое понимание принципа сознательности наиболее плодотворно в методике, т.к. вряд ли нужно объяснять, какую громадную роль играет сознательность в широком смысле слова в любой деятельности человека. Человек, осознающий смысл своей деятельности, знающий, что и зачем он делает, проявит в ней такую энергию, какую никогда не сможет мобилизовать тот, кто трудится только по обязанности. Поэтому никогда не нужно оставлять без внимания вопросы учащихся, направленные на понимание смысла и задач учебной деятельности, ее методов и приемов.

Трудности, связанные с реализацией этого принципа, обусловлены отчасти тем, что до сих пор недостаточно изучен механизм понимания, мы не знаем точно, что значит «понимать». На интуитивном уровне мы определяем это по умению отвечать на вопросы и решать задачи, знаем, как выяснить непонимание. В педагогической технологии постановки целей обучения разрабатываются показатели понимания изучаемого материала, например: преобразование материала из одной формы выражения в другую (из словесной в математическую и обратно), интерпретация материала (объяснение, краткое изложение), предположение о дальнейшем развитии теории и способа деятельности (предсказание следствий, результатов).

Сознательному усвоению материала способствуют соответствие:

1) процесса обучения – последовательности процессов полного цикла учебно-познавательной деятельности учащихся (восприятия, осмысления, запоминания, применения, обобщения и систематизации);

2) процесса обучения закономерностям управления учебно-познаватель­ной деятельностью учащихся со стороны учителя. Что осуществляется выделением таких компонентов как: а) мотивационный (обеспечивающий сознательное включение в учебную деятельность); б) ориентационный (обеспечивающий принятие учащимися целей учебной деятель­ности, её планирование и прогнозирование); в) содержательно-операцион­ный, (обеспечивающий усвоение не только знаний, но и способов деятельности); г) ценностно-волевой (обеспечивающий включение воли, внимания, эмоций); д) контрольно-оценочный (обеспечивающий получение обратной информации о качестве усвоения материала).

Противоположностью обучения, основанного на принципе сознательности, является догматическое обучение, когда учитель требует механического усвоения и запоминания, не устраняет возникающих у детей сомнений, не отвечает на их вопросы («делай, как сказано, и поменьше рассуждай»). Знания, приобретенные механически, либо вовсе не используются, либо при его применении допускаются грубые ошибки; это так называемые «формальные знания», чаще всего встречающиеся в обучении математики, в частности, широкое использование формализованного языка, при котором форма отрывается от содержания, математика – от реальной действительности.

Формальные знания характеризуются тем, что заучивается и запоминается внешнее, символическое выражение математического факта, формулировка определения или теоремы, а сам факт или совсем отсутствует в сознании, или присутствует там вне всякой связи с его формальным выражением; учащиеся не могут воспользоваться им для решения задач или доказательства теорем. Распространенные примеры формальных знаний: а) учащиеся решают уравнения (неравенства, системы) с обозначением переменных «х» и «у», а с другими обозначениями решить уже не могут; б) строят график функции, заданной формулой y = k/x и не могут построить, если дано: ху = k или PV = k; в) теорема не доказывается при другом расположении чертежа; г) зная определение логарифма, затрудняются найти значение выражения 10^lg7; д) (-х) - всегда отрицательно и т.п.

Проблема обучения, реализующего принцип сознательности, состоит не только в том, чтобы устранить формализм в математических знаниях, но и в том, чтобы обучение не порождало его.

1.4. Сознательность усвоения предполагает активность учащихся, так как без активной познавательной деятельности не может быть достигнуто сознательное усвоение знаний. Существует множество подходов к определению понятия активности учащихся. Активность может определяться как свойство личности, характеризующее её стремление к энергичной целенаправленной деятельности. Здесь отмечаются разные уровни активности: запоминающая и воспроизводящая, творческая, социальная активность. Активность ученика в процессе обучения можно рассматривать как определенное психическое состояние возбуждения, проявляющееся в напряжении внимания, памяти, воображения, в мыслительной и практической деятельности, направленной на получение, усвоение или закрепление знаний.

Различается активность в широком и узком смысле слова. В широком смысле активность то же, что в обучении другим предметам. Активность в узком смысле – специфическая активность, познавательная деятельность определенной структуры, свойственная математике и называемая, поэтому математической деятельностью (математическим мышлением). Замечено, что из активности в узком смысле слова следует активность в широком смысле, обратное же неверно.

Проблема активного обучения сопровождает все этапы реформы математического образования, ее решение на том или ином уровне знаменует поиски развивающих, проблемных, исследовательских методов обучения, обеспечивающих активность учащихся (см. Лекцию 7).

Созданию активности способствуют: возбуждение интереса к изучаемой теме, применение на подготовительном этапе изучения нового эмпирических, а на основном этапе - эвристических методов обучения, хорошо продуманные задания все возрастающей трудности. Высшей формой активности и сознательности учащихся, в широком смысле слова является их познавательная самостоятельность. Признаки познавательной самостоятельности учащихся: стремление и умение самостоятельно мыслить; способность ориентироваться в новой ситуации, найти свой подход к решению новой задачи; желание понять не только усваиваемые знания, но и способы их добывания и применения; критический подход к суждениям других; независимость собственных суждений. Большое значение для формирования познавательной самостоятельности имеют все виды самостоятельных работ в обучении математике, которые являются особой формой совместной единой деятельности учителя и учащихся при ведущей роли учителя.

1.5. Принцип наглядности вытекает из сущности процессов восприятия и осмысления учащимися изучаемого материала. По словам К.Д. Ушинского, наглядное обучение учащихся, «строится не на отвлеченных представлениях и словах, а на конкретных образах, непосредственно воспринимаемых ребенком». Через наглядное обучение осуществляется первая ступень процесса познания – «живое созерцание», которое является опорой мышления. В обучении математике особенно важно обеспечить связь между конкретным и абстрактным, так как здесь требуется достижение более высокой ступени абстракции, чем в обучении другим предметам.

В обучении математике используют следующие виды наглядности: а) натуральную – реальные предметы или процессы, раздаточный материал и др.; б) изобразительную - рисунки, таблицы, картины, фотографии, модели, подвижные пособия; в) символическую - чертежи, графики, схемы, диаграммы, математические таблицы, простейшие графы, символы. Последний имеет наиболее широкое применение в обучении математике, но, как всякая система условных знаков и обозначений, требует предварительного специального ее изучения (например, нужно уметь «читать» график функции или чертеж пространственной фигуры). Наглядность обеспечивается также использованием простейших математических инструментов, применением ТСО (в том числе, компьютеров), материалов с печатной основой.

Эффективность наглядного обучения зависит от правильного выбора средств наглядности и от их правильного применения. Чем выше общий уровень умственного развития учащихся, тем легче совершается переход от живого созерцания кабстрактному мышлению, тем вообще меньше нужды в наглядных пособиях. Нельзя забывать о том, что одной из задач обучения математике является формирование абстрактного мышления; если при некотором напряжении учащиеся могут уяснить вопрос и без наглядных пособий, то их применение может только навредить.

1.6. Принцип индивидуального подхода в обучении означает учётвозрастных и индивидуальных особенностей мышления, памяти, характера, воли, способностей, склонностей, физиологии и т.д. для каждого ученика. При традиционном обучении практически осуществить индивидуальный подход почти невозможно. Обучая одновременно 30 человек, учитель ориентировался на среднего ученика, а «сильные» и «слабые» страдали. С точки зрения индивидуального подхода идеальными являются условия – учитель и один ученик, что нереально. В традиционном обучении использовались дополнительные к уроку занятия. Это – кружковые (затем факультативные) занятия с сильными и дополнительные индивидуальные и групповые занятия со слабыми учащимися.

В психологии обучения выявлено несколько характеристик индивидуальных различий учащихся, связанных с понятием обучаемости. К ним относятся: а) темп усвоения или продвижения в обучении как наиболее устойчивая характеристика; б) полнота и точность анализа, синтеза, обобщения и других мыслительных операций; в) устойчивая предрасположенность школьников к тому или иному виду и уровню выполнения этих операций; г) уровень выделения и обобщения учащимися знаний и способов оперирования ими; д) экономичность мышления и др. Сущность принципа индивидуального подхода по существу состоит в адаптации обучения к содержанию и уровню знаний, умений и навыков учащихся; к характерным для него особенностям процесса усвоения; к некоторым устойчивым особенностям его личности.

Современный этап реформы школьного образования, как уже отмечалось выше, видит пути реализации принципа индивидуального подхода в усилении дифференциации обучения, как профильной, так и уровневой, установлении приоритета его развивающей функции.

1.7 Принцип воспитывающего и развивающего обучения (или - единства обучения, воспитания и развития) является традиционным, но наибольшее наполнение его содержание получило также на современном этапе реформы образования в связи с основным ее направлением - гуманизацией школы. О гуманизации математического образования мы уже говорили выше.

1.8. Принцип единства теории и практики (или принцип политехничности) требует включать в обучение математике многочисленные её приложения к практике, что раскрыто нами выше при формулировке практических целей обучения математике. Там же отмечалась необходимость профессиональной ориентации на профессии региона. Следует отметить, что принцип региональности этим не исчерпывается, сюда входят и культурные, и национальные и так далее традиции, к которым можно обращаться и в обучении математике.

1.9. Принцип прочности знаний требует, чтобы у учащихся сохранялись на длительное время усвоенные знания, умения, навыки. Прочность знаний обеспечивается осуществлением всех отмеченных выше принципов дидактики, но если бы она была простым их следствием, не было бы необходимости выделять ее в отдельный принцип. Для обеспечения прочности знаний необходимо учитывать в обучении закономерности процесса запоминания.

Запоминание есть процесс памяти, в результате которого происходит закрепление нового путем связывания его с ранее изученным. Различают первичное запоминание, текущее (или непроизвольное) и произвольное (собственно закрепление). Запоминание (особенно первые две его стадии) избирательно: в памяти сохраняется не все, что оказывает воздействие на органы чувств. Отметим основные условия запоминания материала в процессе обучения:

1) запоминается лучше то, что является объектом деятельности, входит в содержание основной цели деятельности;

2) лучше запоминается то, что для человека существенно, интересно, вызывает активную работу мысли;

3) при прочих равных условиях лучше запоминается эмоционально окрашенный материал;

4) материал запоминается лучше, если мотивом его изучения является применение на практике;

5) запоминание находится в прямой зависимости от повторения с использованием разнообразных способов повторения;

6) запоминанию способствует разбиение изучаемого материала на небольшие порции по смысловому содержанию, с выделением опорных пунктов в форме заголовков, тезисов, вопросов, рисунков и т.п.;

7) играет роль темп учебной деятельности;

8) более прочному запоминанию способствует речь учащихся, «проговаривание» запоминаемого материала;

9) запоминанию способствует овладение учащимися приемами запоминания (общими, специальными, мнемоническими).

Можно сделать еще ряд замечаний относительно запоминания математического материала. Невозможно и трудно запомнить всё, что изучается; из практики обучения математике можно сделать следующие рекомендации:

1) строгие математические формулировки - определений, теорем - особенно трудные, нужно подготавливать изучением их на интуитивном уровне; в этом случае, если забывается точная формулировка, само понятие или содержание теоремы остаются интуитивно ясными;

2) доказательства теорем не нужно заучивать и запоминать, а обеспечить обучение учащихся способам и приемам доказательства;

3) из системы формул (например, тригонометрии) следует запомнить небольшое количество основных, из которых остальные легко вывести несложными выкладками;

4) составной частью обучения математике должны быть различные виды повторения;

5) большое значение имеют все виды самостоятельной работы учащихся с математическим материалом.