Движение за реформу математического образования

Таким образом, проблемы содержания математического образования решаются в тесной связи с состоянием науки и общественными потребностями, иначе образование станет ненужным. Поэтому в нем периодически происходят изменения, которые называют модернизацией или реформой математического образования и которые означают приведение его в соответствие с современными идеями, методами, требованиями.

2.1. Первоначально обновление содержания математического образова­ния было связано с развитием классической математики и заключалось в том, что в него вносились те или иные изменения. В 1906году была создана «Международная комиссия по математическому образованию» и МКМО (IMUK) на IV Международном конгрессе математиков в Риме. Она разрабатывалась выдающимся немецким математиком Ф. Клейном, англичанином Гринхиллом и профессором Женевского университета Фером; её работа, известная под названием клейновского движения, отражена в проектах реформы школьного математического образования (переведено на рус. яз. в 1909 году).

Эти проекты содержали предложения: а) изучить, какие разделы математической науки необходимы для общего образования (в частности, внести в программу школы понятия функции, множества, группы, элементов дифференциального и интегрального исчисления, аналитической геометрии); б) установить тот минимум знаний, который одним необходим для продолжения образования в вузе, а для других – минимум знаний, который поможет им хорошо работать в какой-либо отрасли производства; в) изучить психологические основы обучения математике, чтобы правильно проводить нагляднее обучение и вовремя перейти к чисто математическому построению курса математики в школе; г) усилить внимание к практическим применениям математики; д) изучить возможность стирания условных границ между различными отраслями математики: алгебры и геометрии, алгебры и элементов анализа, геометрии Евклида и аналитической геометрии, обратить внимание на связь математики с остальными предметами и историей математики.

Однако уже участникам клейновского движения стало ясно, что школьное математическое образование оторвано от современной математики как: науки. Этого не наблюдалось в предыдущие почти сто лет, хотя математика 19 века развивалась гигантскими шагами, а школьные программы почти не менялись. Дело в том, что математика 19 века в своей основе оставалась «классической», т.е. её элементарные основы (изучаемые в школе) оставались неизменными. Но в конце 19 в. – начале 20 в. были разработаны и положены в основу математики новые концепции: а) в основе всей математики лежит чистая теория множеств; б) специальные разделы математики изучают те или иные специальные виды математических структур. По существу образовалось две математики – формализованная (в виде символических исчислений, формулам которых не придается никакого смысла) и содержательная ( содержательные утверждения об этих исчислениях), тесно связанны между собой. Единая в своей основе математика, таким образом, служит инструментом познания в реальной человеческой практике.

Школьная же математика по-прежнему представляется «собранием теорем». Вот как говорил об этом французский математик Э. Борель в докладе «Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науки», прочитанном им в апреле 1914 года на совещании МКМО: «Математика, преподаваемая в нашей средней школе, есть лишь схоластический пережиток, тогда как миром правит другая математика и лишь очень малому числу избранных дано восторгаться гордой мощью этой математики. Но всякий образованный человек должен, по крайней мере, знать, что эта математика существует, а не воображать себе всех математиков вроде маньяков, проводящих дни и ночи за извлечением кубических корней».

До первой мировой войны МКМО работала очень активно, почти ежегодно проводя совещания, в международном Движении за реформу математического образования участвовала и Россия (1-й в 1911-12 г.г. в Петербурге и 2-й в 1912-13 г.г. в Москве Всероссийские съезды математиков). Однако обе мировые войны, политическое и экономическое состояние большинства стран в это время обусловили значительные перерывы в её работе, которая активно возобновилась только в 50-70-е годы.

2.2. За время, которое прошло от начала клейновского движения, произошли значительные изменения в жизни человеческого общества, так называемая «научно-техническая революция» овладела всеми сферами человеческой деятельности. Отметим важнейшие из них:

1) Возросла роль науки в целом; если раньше научные проблемы решались учеными-одиночками в университетских лабораториях, то теперь возникли проблемы, для решения которых начали создаваться целые научные города (Дубна, Новосибирск и др.).

2) Французские ученые, писавшие под псевдонимом Н. Бурбаки, показали, что, исходя из некоторой аксиоматики теории множеств, можно, используя лишь теоретико-множественные операции, определить все важнейшие математические понятия, сформулировать их основные свойства и затем на их основе построить всю математику.

3) Возросла роль математических методов во многих областях человеческой деятельности; в течение многих веков математика использовалась лишь для расчетов механики и астрономии, от математического открытия до его реализации проходили десятки или сотни лет. Теперь трудно назвать область науки, промышленности, экономики, управления и т.д., где бы не использовались математические модели. Причиной этого является достоинство методов математики – не проводя экспериментов, они дают возможность предвидеть протекание изучаемых процессов и явлений, рассчитывать конечные результаты. Во все сферы жизни проникают современные управляющие системы, электронная вычислительная техника, автоматизация.

4) Новые возможности усвоения математики школьниками открываются в психолого-педагогических исследованиях механизмов деятельности мышления и памяти с использованием методов математики и кибернетики.

И если во времена Клейна речь шла только о знакомстве школьников с некоторыми завоеваниями математики 17 в., то теперь ставится вопрос о перестройке школьного курса в направлении сближения его с духом и буквой современной математики (т.е. математики середины 20 в.). В реформистском движении этого этапа выделяются три основных направления, делающий акцент на а) общеобразовательный характер образования, б) прикладной, политехнический характер образования, в) направленность образования на подготовку учащихся к обучению в вузе. Каждое из этих направлений в известной степени противоречит двум другим, что делает проблему наиболее рационального построения учебных программ очень трудной.

Поэтому попытки разных стран перестроить школьное математическое образование на базе основных обобщающих идей математики редко оказывались удачными. Это относилось как к отбору нового материала для школьной программы, так и к вопросу о слиянии «классических» («ядра») и «современных» тем в едином курсе; чаще всего новые понятия сосуществовали рядом со старыми, не работая на них по существу.

Дело в том, что очень немногое из «ядра» традиционного содержания школьного курса математики может быть из него исключено и, следовательно, не очень многое из современной математики может быть в него включено. Выход подсказывался тем обстоятельством, что и традиционный материал так называемой элементарной математики может быть построен на базе идей и методов современной математики (в то время как его традиционная трактовка основана на идеях и методах классической элементарной математики, т.е. математики до 17в.). Таким образом, стали говорить не только и не столько о преподавании современной математики, сколько о современном преподавании математики, т.е. реформа содержания математического образования должна сопровождаться реформой методов обучения. При этом оказывается, что сама разработка новых методов изучения математики вызывает необходимость в изменении содержания.

Именно на этой основе осуществлялась на этом этапе реформа школьного математического образования в нашей стране. Она датируется 1965 годом, когда под председательством видного математика, вице-президента АПН СССР А.И. Маркушевича и под руководством выдающегося математика современности академика А.Н.Колмогорова была образована комиссия по определению содержания среднего математического образования, которая в 1968 г. подготовила и издала программы по математике для средней школы. Отметим характерные особенности этой программы:

1) Изменение сроков и содержания начального обучения математике: 3 года вместо 4-х; вместо курса арифметики с основной задачей - обучение счету - курс математики, т.е. арифметики натуральных чисел и основных величин с элементами алгебры (с ранним введением буквенной символики и уравнений как главного способа решения задач) и геометрии положения.

2) Изменение структуры и названия предметов систематического курса математики: 4-5 классы – курс арифметики с элементами алгебры и геометрии с общим названием «математика», 6-8 классы – систематические курсы алгебры и планиметрии; 9-10 классы – курс «алгебра и начала анализа» и систематический курс стереометрии.

3) Построение всего курса - линейное, устранен излишний концентризм. Но явно выделены три этапа его изучения (4-5, 6-8, 9-10 классы), отличающиеся уровнем изложения, названиями предметов, отдельными учебниками; допускаются некоторые повторения отдельных вопросов на новом уровне. Курс геометрии носит одно название, но тоже разделен на три этапа: 4-5 – пропедевтический курс; 6-8 – систематический курс планиметрии, завершающий её изучение; 9-10 – систематический курс стереометрии, построенный с использованием векторов и координат, дающий представление об аксиоматическом строении геометрии.

4) Устранение из школьного курса математики многих архаических вопросов и частностей, не имеющих ни научного, ни прикладного, ни общеобразовательного значения (например, алгоритма извлечения квадратного корня).

5) Из большого числа новых вопросов введение в школьный курс лишь таких, которые имеют широкое общеобразовательное значение, содействуют формированию научного мировоззрения, помогают понять место математики в системе наук и в практической деятельности человека. Это: элементы дифференциального и интегрального исчислений, теории вероятностей, систем счисления) некоторые сведения об ЭВМ и программировании.

6) Особое место элементов теории множеств и математической логики, которые представляют собой не просто новый дополнительный материал общеобразовательного значения, но и язык, на котором излагаются многие вопросы курса (в том числе, традиционные). Другие обобщающие и объединяющие математические понятия могут появляться в к5урсе не как исходные, а как итоги изучения, по мере накопления фактов и закономерностей, дающих повод к соответствующим обобщениям (группа, поле, линейное пространство и т.п.).

7) Создание существенно новой для нашей школы формы обучения – факультативных занятий по выбору учащихся. Факультативные занятия по математике предполагаются двух видов. Первый – «Дополнительные главы и вопросы математики» - имеет целью углубление программных вопросов; изучение вопросов, примыкающих к программным; изучение некоторых дополнительных вопросов, важных с общеобразовательной точки зрения и раскрывающих приложения математики. Значительная часть времени выделяется на решение задач по обязательной программе. Кроме того, на ближайшее время этот вид занятий имеет целью помочь учителям освоиться с новым содержанием обучения, идеями и методами, входящими постепенно в новые программы. При этом будет меняться и программа факультативных курсов. Учитель, при обязательности изучения некоторых тем, может в каждом классе с учетом конкретных возможностей и интересов учащихся, выбрать из нескольких предложенных те темы, изучение которых представляется ему наиболее целесообразным.

Второй вид занятий – «Избранные вопросы математики» (программирование, вычислительная математика, векторная алгебра, задачи линейного программирования и др.) рекомендуется в основном для учащихся старших классов, интересующихся математикой, и только в тех школах, где возможна работа специалистов по этим вопросам.

Факультативные занятия призваны обеспечить индивидуальное развитие учащихся, основательную подготовку в вуз. Программы факультативных занятий по математике составляются так, что они являются продолжением друг друга, образуют некоторую идейно, теоретически законченную систему. Оценка по факультативным занятиям вносится в аттестат.

8) Развитие системы школ и классов с углубленным теоретическим и практическим изучением отдельных предметов, которые начали создаваться, начиная с 1959 г. на базе средних общеобразовательных школ с производственным обучением и хорошо се6я зарекомендовали. С 1966 г. организовываются также физико-математические школы-интернаты при крупных университетах страны. Их основная цель - обеспечить приход в науку талантливых людей, разработка содержания и методики преподавания современных вопросов математики.

Курс математики в школах с математической специализацией состоит из трех предметов - алгебры, математического анализа и геометрии. Эти предметы ифизика являются профилирующими, преподавание остальных предметов ведется по обычным программам. Прикладные предметом является курс «Программирование и вычислительная математика», но это могут быть и другие приложения математики.

9) В соответствии с содержанием и построением курса математики программы этого этапа реформы предполагают и некоторые новые методы обучения, о которых пойдёт речь в дальнейшем.

2.3. Работа по совершенствованию содержания обучения в нашей стране происходит постоянно, следующий этап реформы - 80-е годы. При сохранении всего того ценного, что апробировано школой и дает возможность обеспечить высокий уровень образования, в программе по математике находят отражение основные направления развития научно-технического прогресса, современные достижения науки, техники, культуры; усиливается практическая направленность, уточняются требования к знаниям, умениям и навыкам школьников, устраняются перегрузки и т.д.

Так, в 1980г. была принята программа, в которой был полнее учтен уровень логического мышления школьников – через отказ от обязательного единого теоретико-множественного подхода к построению курса и чрезмерной строгости в изложении материала. Такой подход позволил усилить прикладное содержание школьного курса математики, сделать его менее абстрактным и формализованным, хотя при этом и терялись некоторые достижения предыдущего этапа реформы.

В 1985 г. силами АПН СССР и АН СССР, ведущих специалистов университетов, пединститутов, ИУУ и ОНО была подготовлена новая учебная программа по математике. В ней предпринята попытка разгрузить содержание обучения и усилить его практическую направленность. С этой целью, при сохранении в основном структуры предыдущей программы, в неё внесены следующие изменения:

1) Увеличены сроки обучения за счет начальной школы: начальная школа -1 - 4 классы, три этапа средней школы – 5-6, 7-9, 10-11. классы.

2) В структуре программы появились новые разделы («Организация учебно-воспитательного процесса», «Рекомендации по оценке знаний», «Межпредметные связи» и другие), уточняющие цели обучения математике на данном этапе. В программе заложены возможности реализации преемственности в обучении математике (пропедевтика, обобщение и развитие понятий, их свойств, логических умений), внутрипредметных и межпредметных связей, связи обучения математики с жизнью и современным производством.

3) Исключены некоторые темы (например, «Координаты и векторы в пространстве», вычисления с логарифмами), хотя такая мера устранения перегрузки учащихся имеет очевидные пределы и может привести к ошибкам (примером такой ошибки, на наш взгляд, является исключение понятий предела и непрерывности).

4) Перераспределен материал некоторых тем между классами, устранена излишняя фрагментарность. Так, например, за счет исключения большого по объему материала о степени с рациональным показателем из курса алгебры неполной средней школы в него введен первоначальный курс тригонометрии (тождественные преобразования тригонометрических выражений). Это разгружает старшие классы, дополняет линию тождественных преобразований выражений, усиливает вычислительную линию и межпредметные связи алгебры и геометрии неполной средней школы.

5) Введен новый курс «Основы информатики и вычислительной техники». Он насыщен примерами алгоритмов решения математических задач и их реализации с помощью вычислительной техники, что повышает уровень прикладной и политехнической направленности курса математики.

6) В дополнение к программе по каждому классу и предмету в соответствии с разделом программы «Тематическое планирование» разработаны «Обязательные результаты обучения», определяющие для каждого этапа обучения опорный уровень подготовки учащихся по математике, которого должны достичь все учащиеся для получения положительной оценки.

2.4. Началом современного этапа реформы математического образования (90-е годы) в нашей стране является 1989 год, когда Госкомитетом СССР по народному образованию была разработана в русле перестройки школы новая концепция общего среднего образования, и на её основе НИИ СиМО АПН СССР подготовил концепцию школьного математического образования. В ней характеризуется место математики в системе школьного образования, определяемое новыми социально-экономическими условиями в стране, и основное содержание общего математического образования на данном этапе. Ведущей идеей обновления математического образования признается его гуманизация; её основные направления – дифференциация обучения математике, гуманитарная направленность общеобразовательного курса математики, уровневая подготовка учащихся по математике, перестройка учебно-воспитательного процесса в направлении изменения отношения к ученику и создания возможностей для проявления индивидуальности, как учащегося, так и учителя.

В дополнение к этой концепции в 1995г. РАО разработан документ «Стандарт среднего математического образования», характеристику которого мы уже рассматривали.

Исходя из новых целей обучения математике на современном этапе формы, меняются и принципы отбора содержания. Профессор Г.В. Дорофеев формулирует их следующим образом; 1) информационная ёмкость, 2) социальная эффективность, 3) интеллектуальная емкость, 4) дифференцированная реализуемость, 5) познавательная емкость, 6) диагностикопрогностическая емкость, 7) возможность изучения смежных предметов на современном уровне развития, 8) преемственность [39].

Интересно, что некоторыми учеными на Западе также формулируется новая концепция математического образования, согласно которой:

а) математика должна рассматриваться как деятельность человека, а не как готовый предмет;

б) математика должна внедряться, а не навязываться;

в)обучение должно происходить в форме повторного открытия, а не простой передачи идей;

г) реальность должна быть в большей мере источником математических идей, чем областью их приложений;

д) особое внимание должно быть уделено связям между математическими идеями, а не изолированным фактам;

е) следует обращать внимание на богатство содержания курса, а не на наборы задач;

ж) следует добиваться создания у учащихся мысленных образов предметов, а не достижения концепций;

з) следует искать многосторонние подходы к новым концепциям, а не рассматривать многообразные воплощения этих концепций;

и) главным в изучении математики является понимание, а не навыки.