Развивающие цели обучения математике

В самом общем плане основной целью обучения должно быть развитие ученика. Конечно, в процессе и в результате усвоения знаний происходит умственное развитие учащихся, а математику даже называют гимнастикой ума, но определенное развитие получается только в результате специально организованного, ориентированного на достижение этого развития обучения (см. [35]). Перечислим развивающие цели обучения математике, достижение которых обеспечивает развитие психологических качеств учащихся (т.е. познавательных процессов и способностей):

1) развитие мышления, необходимого образованному человеку для полноценного функционирования в обществе (в частности, эвристического и алгоритмического), а также абстрактного, специфического для математики;

2) развитие элементов творческой деятельности как качеств мышления – интуиции, пространственного воображения, смекалки и др., которые являются составляющими математических способностей;

3) развитие мировоззрения, понимания философской стороны математики как науки об определенных свойствах действительного мира и её роли в освоении научной картины мира;

4) развитие устной и письменной речи (в том числе, математической), формирование языка и аппарата математики, выработка умения читать математическую, а, следовательно, и техническую литературу;

5) развитие внимания, восприятия, памяти, представления и воображения, т.е. познавательных процессов;

6) развитие знаний, умений и навыков учебной деятельности, того, что называют «умением учиться».

Остановимся подробней на отдельных составляющих развивающих целей обучения математике.

2.1. Развитие мышления учащихся в процессе обучения математике в настоящее время выдвигается на первое место. Это диктуется, во-первых, все возрастающей математизацией наук и производства и вытекающей отсюда потребностью в собственно математиках; во-вторых, тем, что нельзя овладеть основами науки с тем, чтобы научиться применять свои знания, без умения мыслить; в-третьих, изменившейся в наше время парадигмой образования, ставящей в центр его человека, становление новых духовных ценностей. Образование сейчас должно формировать у обучаемых новый взгляд на мир, общество и место человека в нем, учить основам жизненного самоопределения, повышать уровень общей культуры. Изучение всех предметов должно быть не целью, а средством изучения мира, давать возможность учащимся научиться проникать в сущность изучаемых проблем. Известный русский психолог Я.А. Пономарев говорил: «Мышление – необходимая предпосылка всякой – другой деятельности, ибо любая деятельность в конечном счете есть его свернутый и переработанный итог» («Знания, мышление и умственное развитие», с. 79).

Понятие «мышление человека» очень многогранно, и процесс мышления изучается разными науками, которые устанавливают его общие закономерности. Специфика содержания и методов математики накладывает на них некоторые особенности. Как правило, математика требует наиболее развитых отдельных компонентов мышления, и у человека, занимающегося математикой, развитое мышление бывает выражено ярче, чем у другого специалиста (известное изречение «математик это сделает лучше»). Разделим условно компоненты мышления на следующие группы, отметив их особенности в сфере математики.

2.1.1. Формы мышления (изучаемые логикой): понятия, суждения (общие, частные, единичные), умозаключения ₍индукция, дедукция, аналогия).

Мышление в форме понятий называется понятийным (абстрактным_, отвлеченным, теоретическим) мышлением. Для математики характерно обладание такого типа мышления над предметным (наглядно-образным) и практически-действенным мышлением. Последнее имеет место на самых низких уровнях и на первых этапах изучения математического материала. Образное мышление – это мышление, протекающее в форме наглядных образов, практически-действенное - мышление, основанное на личном практическом опыте человека. Но умственное развитие каждого человека проходит первоначальную школу такого мышления, познавательная деятельность учащихся возникает на его основе. Недостаток этих типов мышления - их долгая связь с образом, а математика отражает формы и отношения действительного мира, отвлеченные от их содержания. Поэтому в развитии математического мышления нельзя долго задерживаться на этом первом этапе.

Высшей формой понятийного мышления является категориальное или структурное мышление. Категориями называются мыслительные структуры, у которых закрепляются существующие отношения вещей и явлений.Такой тип мышления, которое отражает реальность в сеть категорий, очень характерен для современной математики, а для математической деятельности - тенденция к быстрому сокращению, «свертыванию» рассуждений, к мышлению сокращенными умозаключениями, «свернутыми» структурами.

Важнейшей особенностью математики, отличающей её от всех наук, является дедуктивный характер её умозаключений. Теорема (форма суждения) считается доказанной, если она дедуктивно выведена из других предложений; систематически применяемый при изложении математических дисциплин дедуктивный метод переходит в дедуктивную систему. Поэтому математику называют преимущественно дедуктивной наукой, а характерной особенностью мышления в сфере математических объектов – дедуктивное мышление. Последнее не исключает значимости для процесса обучения и развития мышления учащихся индуктивных умозаключений, играющих эвристическую роль.

Мышление в форме понятий, суждений и умозаключений по правилам и законам логики называют логическим мышлением. Математике приписывают особую роль в развитии такого мышления, однако исследования психологов и педагогов показали, что одна тренировка в логических рассуждениях без понимания того, как рассуждаем, не приводит к требуемому уровню развития логики мышления; что логические понятия и действия, формируемые у ребенка стихийно, как правило, неполны и часто искажены; что логическим понятиям и действиям, приёмам логического мышления нужно специально обучать.

Операции мышления(изучаемые психологией): анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстрагирование, конкретизация, классификация, систематизация. Анализ как метод логического доказательства теорем, как средство поиска доказательства и решения других математических задач, его характерные формы, связанные со спецификой математики, – все это в большей степени присуще мыслительной деятельности в сфере математических объектов. Для человека, владеющего анализом, характерен так называемый аналитический стиль мышления: отдельные этапы его отчетливо выражены и думающий может рассказать о них другое человеку. С другой стороны, изложение математического материала с древних времен осуществляется с помощью синтеза того, что получено при его анализе, оно переходит в математике в синтетическую систему.

Очень полезно в любой познавательной деятельности сравнивать изучаемые объекты и явления. К.Д. Ушинский называл сравнение основой всякого понимания и всякого мышления. Существенную роль в математике играет обобщение - понятий, связей и отношений между ними. Обобщение - путь расширения математических знаний, основываясь на результатах анализа, синтеза, сравнения, обобщение составляет основу абстрагирования, являющегося характерной особенностью математической деятельности. В.В.Давыдов указывал, что особенности процесса обобщения в единстве с процессами абстрагирования и образования понятий характеризуют тип всей мыслительной деятельности человека, и только усвоение школьниками теоретических обобщений может служить основой формирования у них теоретического мышления [34]. Значение обобщения в математике хорошо иллюстрирует принцип, сформулированный У.У. Сойером: «Большая степень обобщения и большая простота неотделимы друг от друга... после обобщения результат становится более полезным» [110]. Обобщение - предпосылка и результат понятийного и структурного мышления, оно составляет сущность математики. Поэтому математическое мышление - в высшей степени обобщенное мышление.

Операция абстрагирования тесно связана с предыдущими, с её помощью осуществляется мышление в форме понятий. Абстракции математики отличаются от всех других своим содержанием, их суть - в глубоком отвлечении от качественной определенности предметов и явлений и в выделении их количественной стороны.

Характерные виды абстракции в математике:

а) Абстракция отождествления (образование абстрактного понятия путем отождествления предметов, связанных отношением типа равенства, например, возникновение понятия числа или геометрической фигуры). Этот вид абстракции может применяться повторно к результату предшествующей абстракции; в итоге возникают характерные для математики многоступенчатые абстракции, которые уже не имеют прямой связи с реальной действительностью (например, понятия многоугольника, n-мерного векторного пространства и т.п.).

б) Абстракция потенциальной осуществимости (отвлечение от реальных границ наших конструктивных возможностей, обусловленных ограниченностью нашей жизни в пространстве и во времени). Например, мы можем представить себе сколь угодно длинный ряд чисел как практически осуществимый, хотя эта осуществимость потенциальная: это было бы практически осуществимо, если бы наша жизнь длилась достаточно долго, и мы имели бы достаточно места и материала для этого. Все операции с числами базируются на этой абстракции, с её помощью образуются математические понятия (число, прямая, плоскость, бесконечное множество и т.п.).

в) Абстракция актуальной бесконечности (отвлечение от незавершенности и незавершимости процесса образования бесконечного множества, от невозможности задать такое множество путем полного перечисления его элементов). Этот вид абстракции позволяет, например, рассматривать отрезок прямой как бесконечное множество точек, каждую из которых можно выделить и обозначить каким-нибудь действительным числом.

Таким образом, для математики характерна «крайняя абстрактность», «абстракция наибольшей силы». В математике процесс абстрагирования идет значительно дальше, чем вообще в естествознании, математическое мышление - в высшей степени абстрактное мышление. В этой самостоятельности математики, в том, что она формирует свои понятия исходя из уже готовых понятий, а не из предметов реального мира, заключается существенная особенность математики как науки, её абстрактный характер.

Специфические приёмы абстрагирования в математике:

а) Идеализация - реальный объект заменяется в нашем сознании абстрактной моделью, наделяемой идеализированными свойствами (совершенно отсутствующими у реальных прообразов этих объектов или отражающих их в значительно измененном виде). Введение идеальных объектов позволяет выразить эмпирически найденные законы природы на языке математики, что имеет огромное значение для создания строгих научных теорий о сложных явлениях действительности.

б) Символизация - полученное в результате абстрагирования общее качество обычно обозначается каким-нибудь знаком – словом, символом, графиком и т.д. Таким образом, оно превращается в самостоятельный и особый предмет последующих действий, с помощью которого структурные особенности объектов изучаются в «чистом виде».

Операция конкретизации (иллюстрации абстрактных понятий и их свойств) помогает научиться применять обобщенное, абстрактное, знание к отдельным частным случаям, и поэтому также важна в развитии абстрактного мышления, как и сама операция абстрагирования.

Операции классификации и систематизации помогают «переварить» поток информации в сознании учащегося в полноценные знания, учат находить в нем связи и закономерности. «Только система... дает нам власть над нашими знаниями, – писал К.Д. Ушинский, – голова, наполненная отрывочными, бессвязными знаниями, похожа на кладовую, в которой все в беспорядке и где сам хозяин ничего не сыщет».

«Принцип системности» и системное мышление вообще играют огромную роль в современной науке, изучающей сложные социальные и технические системы. Данный объект называется системой, если каким-либо определенным способом его можно расчленить на составные части – подсистемы, а эти последние – на элементы.

Мышление с помощью явно выраженных и осознанных операций называют операционным (операциональным) мышлением. Такая характеристика мышления, по словам С.Л. Рубинштейна, не исключает, а предполагает многообразие мыслительных операций со своими специфическими особенностями, связанными с особенностями содержания. Для математики это, например, счетные, графические, алгебраические и т.д. операции [99].

2.2. Качества мышления (изучаемые психологией): убедительность (доказательность), критичность и объективность, гибкость, лаконизм и ясность, самостоятельность и активность, глубина и широта, любознательность и пытливость, интуиция, готовность памяти, вкус к исследованию и поиску закономерностей. Эти качества мышления, называемые ещё качествами ума, создают предпосылки для успешности учения и развития творческой деятельности.

Убедительность (доказательность) - это умение выделить существенные признаки явлений и объяснить себе и другим причины и приёмы использования тех или иных умственных действий, стремление к обоснованию каждого шага решения проблемы.

Критичность и объективность - обязательное присутствие этапа проверки и оценки предположений перед ответом на поставленный вопрос с точки зрения их достоверности и значимости, в противовес оперированию готовыми, заученными фразами, подсказанными памятью, без участия их творческой переработки (некритичность).

Гибкость - умение изменять намеченный план решения задачи, привлекать к решению вопроса имеющиеся знания, легко образовывать новые сочетания знакомых элементов знания, целесообразно варьировать способы решения познавательных проблем, выходить за границы привычного способа действий. Антиподом гибкости мышления является его косность, шаблонность или психологическая инерция, предрасположение к какому-либо конкретному методу мышления. Высший уровень нешаблонного мышления - его оригинальность_t которая чаще всего есть следствие глубины мышления.

Лаконизм и ясность - сознательное стремление всегда находить кратчайший, ведущий к цели логический путь, стремление не допустить ничего лишнего, скупость и строгость мысли.

Самостоятельность и активность - умение увидеть и поставить новый вопрос (проблему) и затем решить его своими силами; постоянство усилий, направленных на решение проблемы, определяется одновременным проявлением прежде всего гибкости и критичности. Сочетание творческой активности и критичности создает инициативность мышления, которая в сочетании с быстротой определяет сообразительность.

Глубина и широта - умение поставить вопросы «почему?», «отчего?» и т.д., и вскрыть суть явления, отделить главное от второстепенного, охватить вопрос целиком, не упуская существенных деталей, возможных частных случаев, обобщить проблему и способы её решения. Антипод глубины мы­шления - его поверхностность, антипод широты - узость мышления.

Любознательность и пытливость - стремление узнать новое, его источники и условия, причины наблюдаемых явлений и т.д., своеобразным антиподом этого качества является простое любопытство.

Интуиция - «схватывание» значения, важности ситуации или явления, или структуры задачи без опоры на развернутые аналитические рассуждения, при отсутствии четко определенных этапов мышления.

Готовность и организованность памяти - качество, понятное из названия, способность к быстрой актуализации нужных знаний для решения новых проблем; организованность памяти означает - способность к запоминанию, долговременному сохранению, быстрому и правильному воспроизведению учебной информации. Антипод этого качества - неорганизованность памяти - запоминание несущественного, забывание нужного.

Целенаправленность мышления - стремление осуществлять разумный выбор действий при решении проблемы, постоянно ориентируясь на поставленную цель, а также стремление отыскать кратчайшие пути её достижения. Целенаправленность мышления способствует проявлению такого качества, как рациональность мышления, характеризуемого склонностью к экономии времени и средств для решения поставленной проблемы, стремлением отыскать оптимально простое её решение. Антиподом целенаправленности является бесцельность мышления.

Вкус к исследованию и поиску закономерностей, по выражению У.У. Сойера, - одно из характерных качеств, содействующих росту математика [110]. Таким образом, творческое мышление выражается в его а) легкости (легко приходят на ум идеи, устанавливаются связи, выражаются свои соображения в словах), б) подвижности (способности найти различные варианты действий, видеть их последствия и поступать в соответствии с этим), в) оригинальности (нестандартности решения предложенных задач), г) в присутствии периода бессознательной переработки информации - свернутом восприятии проблемы сразу, свернутом.характере процесса рассуждений.

2.3. Всеобщие законы мышления изучает философия, и поэтому развитие мышления учащихся - не только познавательная, но и мировоззренческая проблема.

2.3.1. Между философией и естественными науками всегда существовала тесная связь. Эта связь с математикой осложнялась тем, что отношения математики с реальным миром сложнее, чем в естественных науках. Философские проблемы математики связаны с анализом таких вопросов, как: «Что изучает математика? Под влиянием, каких причин, и по каким законам она развивается? В чем состоит критерий истинности математических теорий?».

Ещё древнегреческие философы давали два противоположных истолкования вопроса об отношении математики к реальному миру. Аристотель утверждал, что математические понятия являются абстракциями от реальных вещей. Платон, напротив, считал, что математические понятия занимают промежуточное положение между миром чувственно воспринимаемых вещей и миром «идей» и являются абстракциями от реальных вещей. Платон, напротив, считал, что математические понятия занимают промежуточное положение между миром чувственно воспринимаемых вещей и миром «идей» и являются лишь слабыми «тенями» последних. В дальнейшем взгляды Аристотеля и Платона неоднократно подвергались обсуждению. Материалисты доказывали, что понятия и законы математики являются копиями, полученными в процессе абстрагирования от реальных вещей, их свойств и отношений между ними. Субъективные идеалисты утверждали, что основные понятия и законы математики являются продуктами «свободного» мышления людей. Объективные идеалисты пытались доказать, что объекты математики – самостоятельные сущности, существующие независимо от мира реальных вещей, в мире «идей», «идеальных объектов» и т.п.

В течение столетий сторонники материалистического и идеалистического толкования мира (и математики) вели борьбу, в которой многие известные ведущие математики (Л. Эйлер, Н.И. Лобачевский, П.Л. Чебышев и др.), как правило, отстаивали (чаще стихийно) материалистическое толкование математики.

В материалистическую картину мира вписываются доказанные кибернетикой рассуждения о том, что человеческое сознание моделирует объекты и процессы внешней по отношении к мозгу среде. Это осуществляется, чтобы человек мог выбрать свою линию поведения в своей среде обитания, такую, которая помогла бы ему реализовать наиболее безопасное, комфортное, способное к продолжению рода существование. В тоже время, существующее, по крайней мере, 20000 лет, религиозное мировоззрение подразумевает, что сознание, разум не есть абсолютная прерогатива человека, поскольку МИР – есть творение разума, ачеловек – всего лишь один из «результатов» этого творения.

Мы не будем рассуждать о глобальном вопросе – кто прав, наука или религия, материализм или идеализм. Научное мировоззрение за последние полтораста лет помогло достичь успехов в создании того, чего в природе нет – новых технологий переработки природных материалов, – но оно не изменило человека, а наоборот, создало массу катаклизмов. Поэтому в наше время началось сближение этих двух противоположных картин мира навстречу их гармоническому сочетанию.

Так как математика играет сейчас такую же роль, как и другие науки 20-го столетия, то в оценке её роли в развитии научного мировоззрения мы стоим на позициях материализма, признающего существование объективной реальности, т.е. считаем, что математика отражает определенные стороны материальной действительности. На первое место при этом выступает восприятие пространства - формы, величины и взаимного расположения объектов, удаленности и направления, в котором они находятся. Форма и размеры реальных тел изучаются математикой с помощью их абстрактных моделей - геометрических фигур и их характеристик – геометрических величин. Для определения положения фигур в пространстве используется система координат.

Умение действовать в пространстве, оперируя геометрическими знаниями и навыками, характеризует так называемое пространственное или геометрическое мышление (геометрический стиль мышления). Оно складывается из овладения приемами пространственного мышления как общими, так и специальными, геометрической интуицией, пространственным воображением.

Т.о., раскрыть принцип материальности мира при изучении математики - значит показать, что изучаемые математикой объекты существуют вне нас, независимо от нашего сознания, а те представления о них, которые возникают в нашем сознании, соответствуют реальной действительности.

2.3.2. По каким же законам развивается математика? Обратимся к основным положениям диалектики - науки о наиболее общих законах развития природы, общества и мышления: 1) Природа - единое связное целое, её явления зависимы и взаимно обусловлены. 2) Всё в природе изменяется, развивается, движется.

В математике, эти положения в большей степени выражены в понятии функции и её производной. Проф. А.Я. Хинчин называл понятие функции не только «одним из важнейших понятий школьного курса математики, но и тем стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которого группируется все математическое преподавание... Потому, во-первых, что ни одно из других понятии не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и с такой конкретностью, как понятие функциональной зависимости, в котором воплощены и подвижность, динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин. Потому, во-вторых, что это понятие, как ни одно другое, воплощает в себе диалектические черты современного математического мышления» [125].

Изучение математики, таким образом, способствует развитию так называемого функционального мышления (функционального стиля мышления), являющегося специфической формой диалектического мышления. Его характеризует а) представление математических объектов в движении и развитии, б) операционно-действенный подход кматематическим объектам, оперирование причинно-следственными и другими связями между ними.

Источники, причины, движущие силы развития отражены в законах диалектики: единства и борьбы противоположностей, перехода количества в качество, отрицание отрицания. Математика и история её развития содержат немало примеров проявления этих законов. Так, часть и целое, простое и составное, тождество и различие, положительное и отрицательное, прямые иобратные явления (операции), случайность и необходимость, дискретное и непрерывное и другие противоположности в математике на каждом шагу. Умение осмысливать прямые и обратные явления (операции) в единстве, переключаться с прямого на обратный ход мыслей характеризует такое качество мышления, как его обратимость.

2.3.3. В чем же критерий истинности математических теорий? На этот вопрос отвечают следующие положения теории познания:

а) источник возникновения знаний – практическая деятельность людей;

б) правильность знаний о природе проверяется практикой;

в) не только потребности практики являются движущей силой развития науки, но и достижения науки преобразуют практику.

При этом научные знания развиваются постепенно. На каждом этапе развития науки знание является лишь приблизительно верным отражением действительности, но в каждой научной истине наряду с относительным имеется элемент абсолютного знания, который не может быть отброшен последующим развитием науки. В процессе познания переходят от неполного и неточного знания ко всё более полному и точному, а это значит, что наши знания объективны и мир познаваем ([3], [29]).

Мы рассмотрели некоторые результаты изучения мышления логикой, психологией, философией, но и другие науки занимаются его исследованием. Так, социология анализирует процесс исторического развития мышления в зависимости от социальной структуры различных обществ; физиология изучает мозговые механизмы, с помощью которых реализуются акты мышления, - кибернетика рассматривает мышление как информационный процесс, фиксируя общее и различное в работе ЭВМ и в мыслительной деятельности человека. При появлении общественного разделения труда на умственный и физический, мышление приобретает форму самостоятельной деятельности со своими мотивами, целями, операциями или умственными действиями. Умственные действия - это действия человека, выполняемые во внутреннем плане, без опоры на внешние средства, в том числе слышимую речь. Механизмы формирования умственных действий исследуются в педагогической психологии и находят все более широкое применение на всех уровнях обучения в связи с задачей формирования у учащихся способов мыслительной деятельности (способов выполнения умственных действий).

2.4. Одним из основных признаков мышления является его связь с речью. В речи ставится задача, речью пользуются для пояснения способов её решения; теоретическое мышление, в отличие от практически-действенного, осуществляется только словесным путем. Каждое понятие выражается в слове, свойства понятий – в предложениях разных видов, различные виды и формы речи (устная, письменная, в том числе, специальная математическая) строятся по своим законам.

Т.о., общая задача развития речи учащихся в процессе обучения математике складывается из задач овладения ими а) математической терминологией, б) умением формулировать определение понятия и оперировать им, в) умением формулировать различные виды теорем, г) умениями письменного и устного изложения доказательства теоремы или решения задачи, д) умением работы с учебником математики, е) умениями конспектировать и составлять план устного рассказа по определенной теме, ж) умением вести тетрадь по математике, з) умением задавать вопросы, и) умением говорить красиво, грамотно, четко и в нужном темпе, к) умением слушать речь других, понимать и оценивать её, так же, как и свою собственную (см. [27]).

2.5. Кроме мышления, к основным познавательным процессам в психологии относят внимание, восприятие, память, представление и воображение. Они связаны с индивидуальными особенностями и способностями ученика, развитие которого во многом сводится к развитию этих процессов. Психология изучает их общие характеристики, виды, закономерности протекания, свойства, методы диагностики, а педагогика – методы их учёта при построении урока и организации учебной деятельности, общепедагогические методы их развития в процессе обучения. Развитие познавательных процессов каждого учащегося в настоящее время имеет большое значение и должно быть целью обучения всем школьным предметам, особенно, математике, что связано с перестройкой всего учебного процесса в направлении его гуманизации и специфическими трудностями изучения математики.

Например, для изучения математики нужно иметь хорошую память, в тоже время занятия математикой способствуют развитию памяти. Наибольшее значение для изученияматематики имеет зрительная, слуховая и словесно-логическая память; с другой стороны – произвольная и долговременная, где приёмы запоминания являются одновременно приёмами понимания и мыслительной деятельности. Чтобы развивать память учащихся, нужно обучать их приёмам такого запоминания, например, располагать материал (например, формулы) группами и блоками, выделять смысловые опорные пункты, составлять алгоритмы и словесные формулировки и т.д. Кроме приёмов логически осмысленного запоминания используют и так называемые мнемонические приёмы. Но наиболее рациональный способ запоминания знаний – это их активное и многократное использование в учебной деятельности.

2.6. Деятельность ученика, о развитии которой говорилось в п.п. 2.1.-2.5. называют учебно-познавательной деятельностью, т.к. она направлена на приобретение теоретических знаний о предмете усвоения и развитие ученика. Но учебная деятельность в целом шире познавательной, т.к. в ходе учения применяются действия не только познавательного, но и организационного, тренировочного характера. Эта деятельность осуществляется с помощью совокупности определённых действий, которые при определённых условиях формируются в умения и навыки учебного труда, или общеучебные умения.

Ю.К. Бабанским ([5], [6]) на основе основных структурных элементов учебной деятельности, разработана классификация основных умений и навыков учебной деятельности школьников:

1) Учебно-организационные умения: принимать и намечать задачи деятельности, рационально планировать деятельность, создавать благоприятные условия для деятельности – режим дня, гигиена рабочего места, закаливание.

2) Учебно-информационные умения: осуществлять библиографический поиск, работать с книгой и справочниками, работать с техническими источниками информации, осуществлять наблюдения.

3) Учебно-интеллектуальные умения: мотивировать свою деятельность, внимательно воспринимать информацию, рационально запоминать, логически осмысливать учебный материал, решать проблемные познавательные задачи, самостоятельно выполнять упражнения, осуществлять самоконтроль в учебно-познавательной деятельности.

Владение совокупностью общеучебных умений называют «умением учиться». Специфика математики накладывает на них некоторые особенности, например, мы отличаем умения работать с учебником математики и математическими таблицами, ведения тетради по математике и т.д., и их совокупность образует «умение учиться математике» ([61], [95], [97], [98], [117]).