Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Ход работы. Функция задана таблицей, состоящей из четырёх узлов.
|
|
3.1 Вариант
Функция задана таблицей, состоящей из четырёх узлов.
| x | ||||
| y |
1. Провести интерполировать этой функции кубическим сплайном;
2. Вычислить f ().
3. Выполнить чертёж: в одной системе координат нарисовать узлы интерполяции и график полученной сплайн-функции.
3.2 Допуск к работе
1. Что такое степень сплайна?
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Запишите общий вид кубического сплайна на каждом из частичных отрезков.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. Какое условие накладывают на искомую сплайн-функцию, чтобы найти неизвестные коэффициенты ai?
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. Какое условие накладывается на первые производные?
____________________________________________________________________________________________________________
5. Какое условие накладывается на вторые производные?
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. 
Как с помощью Mathcad можно решить полученную систему линейных уравнений?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. Как определить какой из функций Si необходимо пользоваться для вычисления значения функции в заданной точке?
____________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________
8. Как в Mathcad построить графики нескольких функций в одной системе координат?
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9. Как в Mathcad задать дискретный аргумент?
____________________________________________________________________________________________________________
10. Как в Mathcad нанаести линии сетки на график?
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11. Выпишите формулу для вычисления t в первом интерполяционном многочлене Ньютона.
____________________________________________________________________________________________________________
К работе допускается: ______________________________________________
4. 
Результаты работы
1) Кубический сплайн на ищем в виде:
i=1 S1(x)=a1+b1(x-)+c1(x-)2+d1(x-)3
i=2 S2(x)=a2+b2(x-)+c2(x-)2+d2(x-)3
i=3 S3(x)=a3+b3(x-)+c3(x-)2+d3(x-)3
2) Найдём коэффициенты аi:
i=1 S1()= =a1+b1()+c1()2+d1()3=a1, а1=
i=2 S2()= =a2+b2()+c2()2+d2()3=a2, а2=
i=3 S3()= =a3+b3()+c3()2+d3()3=a3, а3=
3) подставим найденные значения а1, а2, а3 в S1(x), S2(x), S3(x).
i=1 S1(x)= +b1(x-)+c1(x-)2+d1(x-)3
i=2 S2(x)= +b2(x-)+c2(x-)2+d2(x-)3
i=3 S3(x)= +b3(x-)+c3(x-)2+d3(x-)3
3) Потребуем совпадения значений Si(x) в узлах с табличными значениями f
i=1 S1()= +b1()+c1()2+d1()3 =
+ b1+ c1+ d1=
b1+ c1+ d1=
b1+ c1+ d1= (1)
i=2 S2()= +b2()+c2()2+d2()3 =
+ b2+ c2+ d2=
b2+ c2+ d2=
b2+ c2+ d2= (2)
i=3 S3()= +b3()+c3()2+d3()3 =
+ b3+ c3+ d3=
b3+ c3+ d3=
b3+ c3+ d3= (3)
4) Продифференцируем сплайн-функцию
(x)= b1 +2c1(x)+3d1(x)2
(x)=b2+2c2(x)+3d2(x)2
(x)=b3+2c3(x)+3d3(x)2
5) Приравняем производные 
и 
во внутренних узлах хi.
b1+2c1()+3d1()2 = b2+2c2()+3d2()2
b1+ c1+ d1 = b2+ c2 + d2
b1+ c1+ d1 = b2
b1+ c1+ d1 - b2=0 (4)
b2+2c2()+3d2()2 = b3+2c3()+3d3()2
b2+ c2+ d2 = b3+ c3 + d3
b2+ c2+ d2 = b3
b2+ c2+ d2 – b3=0 (5)
6) Вычислим вторые производные сплайн-функции
(x)=2c1+6d1(x)
(x)=2c2+6d2(x)
(x)=2c3+6d3(x)
7) Приравняем производные 
, 
во внутренних узлах хi.
2c1+6d1() = 2c2+6d2()
2c1+ d1= 2c2+ d2
2c1+ d1 – 2с2=0 (6)
2c2+6d2() = 2c3+6d3()
2c2+ d2= 2c3+ d3
2c2+ d2 – 2с3=0 (7)
8) Потребуем равенства нулю вторых производных на концах сплайна
()=2c1+6d1() = 0
с1=0 (8)
 |
()=2c3+6d3() = 0
2c3+ d3 =0 (9)
9) Перепишем уравнения (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9) и получим систему девяти уравнений с девятью неизвестными.
10) Решим эту систему
11) Запишем сплайн-функцию
i=1 S1(x)= + (x-)+ (x-)2+ (x-)3
i=2 S2(x)= + (x-)+ (x-)2+ (x-)3
i=3 S3(x)= + (x-)+ (x-)2+ (x-)3
12) Вычислим значение функции
f()=
13) Выполним чертёж и убедимся, что найденная нами сплайн-функция действительно интерполирует заданную таблично функцию.
Вывод
В ходе выполнения данной работы ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6
|
|