Оценить погрешность аппроксимации правой разностной производной

— г) _ Уг+л — У±_^ разложив в ряд Тейлора решение дифференциальной за-

х_м - х_г к

дачи в окрестности узла х_г {к - шаг разностной сетки).

а) О(п²). б) О(п). в) О(Ь³).

4. Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных диф­
ференциальных уравнений.

а) В методе Эйлера решение X^х) дифференциального уравнения у =/{х, у) получается как предел последовательности функций у„(х), которые находятся по реккурентной формуле

б) Строится система равноотстоящих точек х_г=х₀+/-/г (/^: = 0, 1, 2,...). Вычисления
значений у(х_г), являющихся решением дифференциального уравнения у =Лх, у),
проводятся в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение

у_г■ = у_г■ + а к /(х_г■, у_г ■) с шагом а к, на втором этапе -

У 1+\ = У, + (1 — сг) Л /(х₁, у₁) + ак /(х₁ + сек, у₁), где а > 0, о > 0 - параметры, определяемые из соображений точности.

в) Строится система равноотстоящих точек х_г = Хо+1-к (/ = 0, 1, 2,...) при достаточно
малом шаге к. Приближенные значения у(х_г), являющиеся решением дифференци­
ального уравнения у = Дх, у), вычисляются последовательно по формулам у_г+\ = у, +

5. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?

а) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления у₁₊\ нужно
использовать лишь имеющеюся информацию о г предыдущих точках (х_/+1, З^г+О, (х_г-_
1, Уг.\)„..., (хг._г, Уг._г), (г - шаговый метод).

б) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления у_г+\ нужно
знать лишь одно значение у, и с помощью этого метода можно начинать решение
дифференциального уравнения.

в) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. невязка или погрешность
аппроксимации разностной схемы стремится к нулю при измельчении сетки.

6. Опишите построение разностной схемы для численного решения обыкно­
венного дифференциального уравнения.

а) Область непрерывного изменения аргумента заменяется некоторым конечным
множеством точек, лежащих в этой области. Это множество называется разностной
сеткой. Для одномерной задачи примером пространственной разностной сетки яв­
ляются совокупность точек разбиения отрезка на ТУ частей. Точки деления х_г отрезка
называют узлами сетки. Расстояние между узлами х_г-+1 -х₍ = к есть шаг сетки.

б) Заданный отрезок [а, Ь] заменяется системой частичных отрезков [х_г, х₁₊\\ равной

длины, называемой разностной сеткой. Расстояние между концами интервала х_г-+1 - Х{, = к есть единичная длина сетки. На каждом отрезке [х_г, х₁₊\\ осуществляется чис­ленное решение дифференциального уравнения.

в) Пусть для некоторого множества точек хо, Х\,..., х_п исходной области известны табличные значения функции у=/{х), являющейся решением дифференциального уравнения. Данное множество значений функции^, У\, ■ ■ ■, Уп, называемых узлами, есть разностная сетка. Расстояние между узлами у_т -у_{ = к называется шагом сетки.