Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.

а) Нелинейное уравнение Дх) = 0 на интервале [а, Ь] заменяется эквивалентным
уравнением х = ф(х). Итерации образуются по правилу х_к+\ = ф(х^), (к = 0, 1,...), при­
чем задается начальное приближение х₀. Если последовательность чисел Хк имеет
предел при & —> 0, то этот предел является корнем уравнения х = ф(х).

б) Для нахождения корня нелинейного уравнения Дх) = 0 методом простой итерации
требуется, чтобы на концах интервала [а, Ь] функция Дх) принимала ненулевые зна­
чения противоположного знака. Итерационная процедура состоит в переходе от та­
кого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдуще­
го и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь по­
лученного интервала станет меньше заданной точности 8, и в качестве корня урав­
нения приближенно принимается середина этого интервала.

в) Для нахождения корня нелинейного уравнения Дх) = 0 методом простой итерации

требуется, чтобы функция Дх) имела на интервале [а, Ь] непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие на [а, Ь] постоянный знак. Для начала вычисле­ний необходимо задание одного начального приближения х₀. Последующие при­ближения определяется по формуле х_к+\ = х_к~Лх_к)//(х_к), (к = 0, 1,...).

44. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам (ДОП) и Ньютона
по различным критериям (универсальность, скорость сходимости).

а) Метод Ньютона обладает большей универсальностью, чем метод ДОП, т.к. схо­
димость зависит только от выбора начальной точки. Вычисления методом ДОП
можно начинать лишь с отрезка, на концах которого функция имеет разные знаки, а
внутри этого интервала непрерывные производные 1-го и 2-го порядков. При реше­
нии практических задач не всегда удается проверить выполнение необходимых ог­
раничений на выбор подобного интервала. Однако метод ДОП обладает более высо­
кой скоростью сходимости.

б) Более универсальным является метод ДОП. Он гарантирует получение решения
для любой непрерывной функции Г(х), если найден интервал, на котором она меняет
знак. Метод Ньютона предъявляет к функции более жесткие требования. Сходи­
мость метода Ньютона существенно зависит от выбора начальной точки. При реали­
зации данного метода необходимо предусматривать вычисление производных
функции для организации итерационного процесса и проверки условий сходимости.
Важным преимуществом метода Ньютона является высокая скорость сходимости,
обеспечивающая значительную экономию машинного времени при решении слож­
ных нелинейных уравнений.

в) Методы Ньютона и ДОП имеют одинаковые необходимые и достаточные условия
сходимости, поэтому применимы в одинаковых условиях. Однако метод ДОП обла­
дает линейной скоростью сходимости, поэтому весьма быстро сходится в отличие от
метода Ньютона, который обладает лишь квадратичной скоростью сходимости.