Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.

а) В основе данного метода лежит идея последовательного исключения неизвест­
ных. Решение системы распадается на два этапа: 1) прямой ход, когда исходная сис­
тема приводится к треугольному виду; 2) полученные коэффициенты при неизвест­
ных и правые части уравнений хранятся в памяти ЭВМ и используются при осуще­
ствлении обратного хода, который заключается в нахождении неизвестных из сис­
темы треугольного вида.

б) Заданная система линейных уравнений каким-либо образом приводится к эквива­
лентному виду. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерацион­
ный процесс. При выполнении достаточных условий сходимости, получается после­
довательность векторов, неогранично приближающихся к точному решению.

в) Если матрица коэффициентов А невырожденная (определитель этой матрицы не
равен нулю), то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвест-

с1с{ А-

ных могут быть получены по формулам х =-----, ёе1 А_г и ёе1 А - определители мат-

йеХА

риц А_г и А соответственно, матрица А_г образуется из матрицы А путем замены ее /-го

столбца столбцом свободных членов.

36. Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических
уравнений называется самоисправляющимся?

а) Потому что для данного метода вводятся достаточные условия сходимости.

б) Потому что отдельная ошибка, допущенная при вычислениях, не отражается на
конечном результате, т.к. ошибочное приближение рассматривается как новый на­
чальный вектор.

в) Потому что при использовании данного метода строится отдельная процедура,
исправляющая любые ошибки, допущенные при расчетах.

37. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?

а) Данное правило разработано и применимо лишь для решения систем линейных
алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.

б) Реализация данного метода в виде вычислительной процедуры требует выполнения
значительного количества арифметических операций и соответственно больших затрат
машинного времени. Кроме того, он очень чувствителен к ошибкам округления.

в) Данный метод дает менее точные результаты, чем другие методы решения систем
линейных алгебраических уравнений. При этом требуется выполнение жестких дос­
таточных условий сходимости.

38. Опишите метод Якоби (простой итерации) решения системы линейных ал­
гебраических уравнений.

а) Исходная система линейных алгебраических уравнений записывается в виде, разре­
шенном относительно неизвестных; при этом неизвестные появляются и в правой час­
ти. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационная процедура.
При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность
векторов, неорганично приближающихся к точному решению. Точное решение систе­
мы получается лишь в результате бесконечного итерационного процесса и всякий век­
тор из полученной последовательности является приближенным решением.

б) Находятся определители матриц А_{ (ее! Д) и А (ёеЫ), где А - матрица коэффици­
ентов системы линейных алгебраических уравнений, матрица А_{ образуется из А пу­
тем замены ее /-го столбца столбцом свободных членов. Если определитель матри­
цы коэффициентов А не равен нулю, то исходная система имеет единственное реше­
ние и значения неизвестных определяются по формулам х_г = йех² 4 - йе1² А.

в) Метод Якоби разработан для решения систем линейных алгебраических уравне­
ний с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Исходная система п уравнений
приводится к виду х_{ =сс; + /3; Х_м, (/ = 1, 2,..., и-1). Числа а_{ и Д, называемые прого-
ночными коэффициентами, последовательно находятся в прямом ходе. При осуще­
ствлении обратного хода определяется х_п, а затем вычисляются значения
х₍ (г'■ = п -1,..., 1), последовательно применяя рекуррентные формулы х₍ = а₍ + Р₍х_(+Х.