Назовите области применения формул численного интегрирования.

а) К численному интегрированию чаще всего прибегают, когда приходится вычис­
лять интегралы от функций, заданных таблично, или когда непосредственное интег­
рирование функции затруднительно.

б) К численному интегрированию чаще всего прибегают, когда приходится вычис­
лять значения функции в промежуточных точках, при этом данная функция задана в
табличном виде и аналитическое выражение функции неизвестно.

в) К численному интегрированию чаще всего прибегают, когда требуется опреде­
лить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции.
28. Назовите достоинства метода Гаусса (метода наивысшей алгебраической
точности) вычисления определенного интеграла.

а) Метод Гаусса в ряду других методов численного интегрирования наиболее прост
в понимании и организации вычислительного процесса. При этом есть легко опре­
деляемая оценка погрешности.

б) В методе Гаусса отрезок интегрирования разбивается на п равных интервалов в
отличие от других квадратурных формул, в которых абсциссы х_г подбираются исхо­
дя из соображений точности и, вообще говоря, являются иррациональными числами.

в) Для функций высокой гладкости при одинаковом числе узлов метод Гаусса дает значительно более точные результаты, чем другие методы численного интегрирова­ния. При этом для получения одной и той же точности по формуле Гаусса необхо­димо выполнить меньше операций.

29. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисле­
ния интеграла с помощью метода двойного пересчета.

а) Общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма погрешно­
сти усечения 8₈ и погрешности округления 8_Р. Так как с уменьшением шага расчета И
погрешность 8₈ убывает, а 8_Р возрастает, то существует оптимальный шаг И, опреде­
ляемый таким образом, чтобы 8₈ составляла примерно половину е_р.

б) Вычисляют интеграл / по выбранной квадратурной формуле дважды: сначала ин­
теграл 1н с некоторым шагом к, затем интеграл 1нп с шагом И/2, а затем сравнивают
их. Если окажется, что 1ц-1^2 ^{< 8}> ^гД^{е 8} ~ допустимая погрешность, то полагают
/ ~ /а/2. Если же \1_к -1_к/2\> в, то расчет повторяют с шагом И/4 и т.д.

в) Пусть требуется вычислить интеграл / с точностью 8. Используя формулу соот­
ветствующего остаточного члена Т, выбирают шаг И таким, чтобы выполнялось не­
равенство | Ч' | < е/2. Затем вычисляют / по выбранной квадратурной формуле с по­
лученным шагом. При этом вычисления следует производить с таким числом зна­
ков, чтобы погрешность округления не превышала г/2.

30. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на
основании остаточных членов формул.

а) Формула прямоугольников обеспечивает высокую точность при небольшом числе
узлов, чем формулы Симпсона и трапеций, а последние - более точные результаты,
чем формула Гаусса. Однако для функции малой гладкости, имеющих лишь 1-ю или
2-ю производную, а также для функций с разрывами производных простые формулы
интегрирования (Гаусса, трапеции и Симпсона) могут давать примерно ту же точ­
ность, что и формула прямоугольников.

б) Для функций имеющих непрерывные производные достаточно высокого порядка
при одинаковом числе узлов формула Гаусса дает значительно более точные результа­
ты, чем формула Симпсона, а последняя - более точные результаты, чем формулы
прямоугольников и трапеций. При этом для получения одной и той же точности по
формуле Гаусса необходимо выполнить меньше операций, чем по формуле Симпсона,
а по последней - меньше, чем по формуле трапеций.

в) Анализ формул численного интегрирования показывает, что для функций высокой
гладкости квадратурная формула трапеций является наиболее точной по сравнению с
формулами Гаусса и Симпсона). Однако для функций с разрывами производных наи­
более точной является более сложная формула прямоугольников.

31. Вычислить по формуле трапеций интеграл / = — при п = 4 и оценить оста-

X