Назовите области применения интерполирования функций.

а) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда приходится вычислять
значения функции в промежуточных точках, при этом данная функция задана в таб­
личном виде и аналитическое выражение функции неизвестно. Интерполирование
применяют и в случае, когда аналитический вид функции известен, но сложен и требу­
ет большого объема вычислений для определения отдельных значений функции.

б) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда приходится вычислять
производные от функций, заданных таблично, или когда непосредственное дифферен­
цирование функции затруднительно. Интерполирование применяют и в случае, когда
необходимо вычислить производные от функций, имеющих разрыв 2-го рода.

в) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда требуется определить
допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции. Ин­
терполирование применяют и в случае, когда необходимо вычислить погрешность
функции нескольких переменных при заданных погрешностях аргументов.

20. С какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле Ла­
гранжа 1п 100, 5 по известным значениям 1п 100, 1п 101, 1п 102 и 1п 103.
а)4, 5-10" ⁵; б)6, 7-10" ⁷; в)2, 3-10" ⁹.

21. Опишите методику нахождения корней уравнения Дх) = 0 методом обратно­
го интерполирования.

а) Рассмотрим функцию у =Дх) и составим таблицу ее значений, близких к нулю.
При этом количество узлов выбираем в зависимости от требуемой точности корня.
В качестве х₀ и Х\ берем те соседние узлы, для которых /(х₀)-/(х₁)< 0, и применяя

метод обратного интерполирования, отыскиваем значение х, при которому = 0.

б) Рассмотрим интервал [< з, Ь], на концах которого функция Дх) принимает ненуле­
вые значения противоположного знака. Строим итерационную процедуру, состоя­
щую в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из
половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается,
когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности 8, и в
качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала.

в) На выбранном интервале строится система равноотстоящих точек х^ = х^+к-к
(к=0, 1, 2,...) при достаточно малом шаге к. Применяя метод обратного интерполи­
рования, находим значения функции у = Дх) в всех точках х^. Затем методом просто­
го перебора выбираем наименьшее значение функции у.

22. В чем состоит суть методов численного интегрирования функций?

а) Суть состоит в замене подынтегральной функции {(х) вспомогательной, интеграл
от которой легко вычисляется в элементарных функциях.

б) Суть состоит в следующем: при заданном числе интервалов разбиения следует рас­
положить их концы так, чтобы получить наивысшую точность интегрирования.

в) Суть состоит в том, что из подынтегральной функции {(х) выделяют некоторую

функцию §(х), имеющую те же особенности, что функция Цх), элементарно интег­рируемую на данном промежутке и такую, чтобы разность {(х)-§, (х) имела нужное число производных.

23. Опишите методику вычисления определенного интеграла по формулам
прямоугольников.

а) Отрезок интегрирования [а, Ь] разбивается на п равных интервалов. В пределах
каждого интервала [х_г, х_г+1] подынтегральная функция Дх) заменяется интерполяци­
онным многочленом Лагранжа первой степени с узлами х_г- и х_г+1, что соответствует
замене кривой на секущую. Интеграл по [< з, Ь] вычисляется как сумма интегралов по
всем частичным отрезкам.

б) В квадратурных формулах | г_{(г)Л =}у _с ги) + ч> коэффициенты с_г- и абсциссы и

подбираются так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. При п узлах точно интегрируются все многочлены степени N < 2п-\. Коэф­фициенты с_г- и абсциссы и находятся из системы 1п-\ нелинейных уравнений.

в) Отрезок интегрирования [а, Ь] разбивают на частичные отрезки [х_г, х_г-+1] равной
длины. На каждом отрезке [х_г, х_г+1] подынтегральная функция Дх) заменяется на
постоянную величину Дх_г+1/₂) (либо/(х_г), либоДх_г+1)) и интеграл по [а, Ь] вычисляет­
ся как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.

24. Вычислить приближенное значение интеграла г_^_ по формуле трапеций

при й = 4.

а) Значение интеграла = 1, 628. б) Значение интеграла = 1, 683.

в) Значение интеграла = 1, 647.

25. Определить величину шага к по оценке остаточного члена для вычисления

1,

интеграла [------ по формуле трапеций с точностью до 10~².

" М + г

О

а) к = 1, 49. б) к = 0, 79. в) к = 0, 96.