Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа. Тема 1. Погрешность результата численного решения задачи

Тема 1. Погрешность результата численного решения задачи

Источники и классификация погрешности. Запись чисел в ЭВМ. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности. Арифмитические действия с приближенными числами. Погрешность функции. Определение допустимой по­грешности аргументов по допустимой погрешности функции.

Тема 2. Интерполирование функций

Постановка задачи интерполирования функции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа.

Схема Эйткена. Разделенные разности и их свойства. Интерполяционная формула Ньютона. Интерполирование сплайн-функциями. Метод наименьших квадратов. Обратное интерполирование.

Тема 3. Приближенное вычисление интегралов

Постановка задачи численного интегрирования. Вычисление определенного инте­грала по формулам прямоугольников, трапеции, Симпсона. Точностные оценки формул интегрирования, выбор шага интегрирования. Квадратурные формулы Нью-тона-Котеса. Ортогональные многочлены. Правило Рунге практической оценки по­грешности. Квадратурные формулы Гаусса.

Тема 4. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений

Основные понятия. Метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений. Схема Гаусса с выбором главного элемента. Решение системы линейных алгебраических уравнений специального вида методом прогонки. Метод простой итерации, особенности реализации данного метода на ЭВМ. Метод Зейделя.

Тема 5. Решение нелинейных уравнений

Этапы нахождения корней нелинейного уравнения. Метод деления отрезка попо­лам. Метод последовательных приближений и смежные вопросы. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения. Модифицированный метод Ньютона. Сравнение методов решения нелинейного уравнения поразличным критериям.

Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений Тема 6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Задача Коши, общие замечания. Разностная аппроксимация задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Особенности ин­тегрирования систем уравнений. Построение разностной схемы. Разностная аппрок­симация дифференциальных операторов. Методы Эйлера и Рунге-Кутта. Оценка по­грешности конечно-разностных методов. Многошаговые методы численного интег­рирования дифференциальных уравнений.

Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Постановка краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей. Оценка погрешности метода конечных разностей для краевой задачи. Метод конечных разностей для нелинейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных

Физическая и математическая классификация уравнений с частными производными. Метод конечных разностей. Консервативная конечно-разностная схема. Погрешность аппроксимации, сходимость решения маршевых задач. Теорема Лакса.