Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Метод Ньютона (касательных). Суть метода состоит в том, что на к-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y = f(x) при x = ck и ищется точка пересечения касательной с осью




Суть метода состоит в том, что на к-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y = f(x) при x = ck и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом не обязательно задавать отрезок [a, b], содержащий корень уравнения f(x) = 0, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня x = c0 (рисунок 3).

Уравнение касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке М0 с координатами с0 и f(c0), имеет вид:

 

y - f(c0) = f'(c0)(x - c0).

 

 
 

Отсюда найдем следующее приближение корня с1 как абсциссу точки пересечения касательной с осью x (y = 0):

c1 = c0 - f(c0)/f'(c0).

 

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках M1, M2 и т.д. Формула для n+1-го приближения имеет вид:

 

cn+1 = cn - f(cn)/f'(cn). (1)

 

При этом необходимо, чтобы f'(cn) не равнялось нулю. Для окончания итерационного процесса может быть использовано или условие ¦f(cn)¦ < e, или условие близости двух последовательных приближений ¦cn+1 - cn¦ < e.

Из формулы (1) следует, что на каждой итерации объем вычислений в методе Ньютона больший, чем в рассмотренных ранее методах, поскольку приходится находить значение не только функции f(x), но и ее производной. Однако скорость сходимости здесь значительно выше.

Трудность в применении метода Ньютона состоит в выборе начального приближения, которое должно находиться в окрестности D (области нахождения корня). Поэтому иногда целесообразно использовать смешанный алгоритм. Он состоит в том, что сначала применяется всегда сходящийся метод (например, метод деления отрезка пополам), а после некоторого числа итераций - быстро сходящийся метод Ньютона.

 

2 Решение систем линейных алгебраических уравнений


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.009 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал