Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Устойчивость решений по Ляпунову
Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): (i = 1…n). , где y – вектор с координатами (y1, …, yn), y = (y1, …, yn), f = (f1, …, fn). Норма: Пусть начальные данные задаются при x = x0. Опр: решение y = y0(x) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, при , если > 0 , x ≥ x0 для любого решения этой системы. || y(x) – y0(x)|| < при || y(x0)– y0(x0)| < . Если, кроме того, при достаточно малых || y(x) – y0(x)||, то решение (2) называется асимптотически устойчивым при . При этом предполагается, что функция y0(x) определяется для всех x ≥ x0, а система (1) определена в некоторой окрестности y = y0(x), вида: || y(x) – y0(x)|| < M при x ≥ x0. Очевидно, всегда можно рассматривать случай y0(x) 0, взяв вместо y(x) новую неизвестную функцию y(x) – y0(x). Функции fi, yi и х считаются действительными. Устойчивость означает, что малые изменения начальных условий приводят к малому отличию решений при x ≥ x0, а асимптотическая устойчивость означает, что при малом отличии начальных данных, решения неограниченно приближаются к y0(x) при . Пример 1: (a = const, a ≠ 0). Начальное условие: y(x0) = y0. Решение: y(x0) = 0, y = 0. Решение устойчиво асимптотически.
При исследовании устойчивости и асимптотической устойчивости важную роль играет теорема Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости: Пусть для некоторого > 0 правая часть системы (1)определена и непрерывна при и || y || < и f(x, 0) 0. Пусть при тех же значениях y существует непрерывно дифференцируемая «функция Ляпунова»: V(y) ≥ 0 и равна нулю лишь в начале координат. а) Если то нулевое решение y(x) 0 системы (1) устойчиво. б) Если где ≥ 0 – некоторая непрерывная функция (W(0)=0, W(y)≠ 0 при y≠ 0), равна нулю лишь в начале координат, то нулевое решение асимптотически устойчиво. Теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть n=2 и пусть линии V=c (c=const) замкнутые линии, содержащие начало координат. Причем линия с меньшим значением с лежит внутри линии с большим значением с. Тогда (3) означает, что интегральные линии, имеющие общую точку с линией V=c, не выходят из области, ограниченной этой линией. Откуда и следует устойчивость нулевых решений y1 0, y2 0 (т.е. начало координат на плоскости y1, y2). При выполнении более сильного условия (4), интегральные линии пересекают линию V c снаружи внутрь (см. рис.), т.к.
( > 0). , следовательно, все интегральные линии, при , → к началу координат, что означает асимптотическую устойчивость нулевого решения. Теорема Четаева о неустойчивости: Если существует дифференцируемая функция V(y), удовлетворяющая в некотором замкнутом шаре Tr условиям: 1) в сколь угодно малой окрестности U начала координат область U0, в которой V> 0, причем V=0 на лежащей в U части границы U0; 2) в области U0 производная , причем в области, где , производная , то нулевое решение системы (1) неустойчиво. y1 0, y1 0, …, yn 0. Зад. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы: Пример 1: ( – эта пара функций образует нулевое решение системы) (функция V-неотрицательная, имеет непрерывные частные производные, обращается в 0 в единственной точке) Условие (3) выполнено, нулевое решение устойчиво. Асимптотической устойчивости нет. Интегральными линиями будут окрестности, которые при не → к нулю. Метод функций Ляпунова оказывается универсальным и эффективным методом для широкого круга задач теории устойчивости. Недостаток метода в том, что не существует достаточно общего конструктивного способа для нахождения функций Ляпунова. В простейших случаях функции Ляпунова следует искать в виде:
Пусть функции (1) fi имеют вид: где Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению: Пусть При всех x ≥ x0 и при всех y, с достаточно малой нормой ||y||, норма (α, М - const), и функции gi непрерывны по совокупности переменных. Тогда, если действительные части всех корней уравнения | λ E – A | = 0 отрицательны, то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. Если хотя бы один из корней имеет положительную действительную часть, то нулевое решение не устойчиво. Без док-ва. Для определения знака действительной части корня уравнения | λ E – A | = 0 нет необходимости решать это уравнение. Определитель нужно раскрыть и записать его в виде многочлена относительно λ: Для того, чтобы действительные части всех корней уравнения (5) были положительными, н. и д. выполнение одного из условий: а) условие Гаусса – Гурвица: положительны все главные миноры матрицы Гурвица: б) условие Льенара – Шипора: ai > 0 (i=1…n), миноры ∆ n-1 > 0, ∆ n-3 > 0, ∆ n-5 > 0, …. ∆ 1 = , ∆ 2 = ∆ 3 = , ….
|