Наибольшее и наименьшее значения функции

Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в некоторой области, рассматриваемой вместе со своей границей.

Если какое-либо из этих значений достигается функцией внутри области, то оно, очевидно, является экстремальным. Но может случиться, что наибольшее или наименьшее значение принимается функцией в некоторой точке, лежащей на границе области.

Из сказанного следует правило:

для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в замкнутой области, нужно найти все максимумы или минимумы функции, достигаемые внутри этой области, а также наибольшее или наименьшее значения функции на границах области. Наибольшее из всех этих чисел и будет искомым наибольшим значением, а наименьшее - наименьшим.

13. Уравнения прямой с угловым коэффициентом, уравнение касательной функции. Асимптоты и их уравнения.

Пусть заданы:

а) точка на оси ординат;

б) угол (рис.3.21, а).

Требуется составить уравнение прямой, пересекающей ось ординат в заданной точке и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол заданной величины .

Величину, равную тангенсу угла а, который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс, называют угловым коэффициентом прямой и обозначают (рис.3.21, а).

Выберем на прямой произвольную точку , отличную от , т.е. . Запишем уравнение (3.16) при :

Отсюда . Подставляя , получаем уравнение

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (или уравнением прямой, разрешенным относительно ).

Определение. Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x₀ имеет конечную производную f(x₀). Тогда прямая, проходящая через точку (x₀; f(x₀)), имеющая угловой коэффициент f ’(x₀), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x₀ не существует? Возможны два варианта:

1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).

2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π /2).