Пересечение поверхности прямой линией
Чтобы определить точки пресечения прямой линии а с произвольной поверхностью Q (рис.165), необходимо провести через заданную прямую произвольную S, затем построить линию пересечения b поверхности Q этой плоскостью S.
  Заданная прямая а и линия b принадлежат одной плоскости S и пересекаются в некоторой точке K, но линия b принадлежит заданной поверхности Q, поэтому и точка K находится на поверхности Q, то есть является точкой пересечения прямой а с поверхностью Q.
Решение задачи можно кратко записать в следующем виде:
1) å Ì а (АВ);
2) b = Q Ì S;
3) K = a g b.
Через заданную прямую а можно провести бесконечное множество плоскостей S, поэтому для упрощения решения задачи по определению точки пересечения прямой а с заданной
Рис. 165 поверхностью Q плоскость S должна быть выбрана таким обра-
зом, чтобы она пересекала заданную поверхность по простым линиям: либо по прямой, либо по окружности.
Рассмотрим некоторые примеры решения таких задач.
Пример 1. Построить точки пересечения примой АВ с поверхностью прямого кругового конуса (рис.166).
Через прямую АВ и вершину конуса S проведена плоскость общего положения (она выражена двумя пересекающимися прямыми АВ и АS). Эта плоскость пересекает поверхность прямого кругового конуса по двум образующим S1 и S2. Чтобы найти точки 1 и 2, необходимо построить горизонтальный след плоскости общего положения. Для этого находим горизонтальные следы М (М1, М2) прямой SB и М ¢ (М1¢, М2 ¢) прямой SA. Соединяя на П1 проекции М1 и М1 ¢, мы получим горизонтальный след плоскости общего положения. При пересечении горизонтального следа плоскости и основания конуса (окружность), получим точки 11 и 21. Затем определяем искомые точки пересечения К и L прямой AB с поверхностью конуса:
K1 = S111 g A1B1; L1 = S121 g A1B1; K2 = S212 g A2B2; L2 = S212 g A2B2.
 
Рис. 166
Пример 2. Определить точки пересечения K и L прямой АВ с поверхностью наклонного цилиндра (рис.167).
Через заданную прямую АВ проводим вспомогательную секущую плоскость общего положения S, параллельную образующим цилиндра. Такая плоскость пересечет цилиндр по образующим 11¢ и 22 ¢, то есть по прямым линиям. Эту плоскость зададим двумя параллельными прямыми a и b, проекции которых будут параллельны соответствующим проекциям образующих цилиндра и проходящими через две точки заданной прямой (а Î А, b Î B).
 Затем определяем горизонтальный след этой плоскости S1, который проходит через горизонтальные следы прямых a и b (ММ¢ = S1). След S1 пересекает основание цилиндра на плоскости П1 в точках 11 и 21.
Рис. 167
Строим образующие 11 ¢ и 22 ¢, по которым плоскость S пересекает поверхность цилиндра.
Находим точки пересечения прямой АВ с поверхностью цилиндра, как точки пересечения прямой АВ с образующими 11 ¢ и 22 ¢: К = 11¢ g АВ, L = 22 ¢ g AB.
Определяем видимость прямой АВ относительно поверхности цилиндра. Часть прямой, находящаяся внутри поверхности цилиндра, не видна на всех проекциях. Видимость других участков прямой зависит от видимости образующих, на которых лежат точки K и L.
При определении точек пересечения прямой линии с поверхностью вращения возможно проводить через прямую не только плоскость общего положения, но и частного положения. Однако, использование плоскости частного положения не дает точного результата, так как в сечении поверхности получаются кривые второго порядка, построить которые с большой точностью нельзя.
 Пример 3. Определить точки пересечения прямой АВ с поверхностью сферы (рис. 168).
 Заключаем прямую АВ во фронтально проецирующую плоскость S (S2). Строим сечение сферы плоскостью S. Фронтальная проекция сечения представляет собой прямую линию, совпадающую со следом плоскости S2. Выбираем опорные точки: верхнюю (12), нижнюю (42), точки границы видимости относительно плоскости П1 (22 º 32). Без дополнительных построений, используя лишь линии связей, находим на горизонтальной проекции экватора проекции 31 и 21, на проекции главного меридиана проекции 11 и 41. Затем произвольно выбираем на плоскости П2 ряд промежуточных точек: 52 º 52 ¢, 62 º 62¢, которые строим, используя дополнительные секущие плоскости уровня Т(Т2) и Q(Q2). Эти плоскости пересекают сферу по параллелям, проекции которых на П1 представляют собой окружности. Все построенные на горизонтальной плоскости проекции точки соединяем плавной кривой линией (эллипс) с учетом Рис. 168
видимости поверхности сферы: точки, расположенные на сфере выше экватора, на плоскости П1 будут видимыми, ниже – не видимыми.
 Искомые точки пересечения K и L прямой АВ с поверхностью сферы находим в результате пересечения прямой с построенным сечением.
Пример 4. Определить точки пересечения прямой АВ со сферой, используя при этом способы преобразования проекционного чертежа (рис. 169).
Через заданную прямую АВ проводим горизонтально проецирующую плоскость S^П1 (любая плоскость пресекает сферу по окружности).
Способом замены плоскостей проекций определяем натуральную величину сечения сферы плоскостью S. Для этого проводим новую плоскость проекций П4 ‖ S. В новой системе плоскостей проекций П1/П4 ось X14 проведена параллельно S1. На плоскости П4 строим новую про-
екцию сферы с центром в точке О4 и заданного радиуса, а также новую проекцию прямой АВ Рис.169
(А4В4). Окружность сечения сферы плоскостью S
спроецируется на плоскость П4 в виде концентрической окружности из того же центра О4 диаметром, равным хорде 1121.
Определяем точки K4 и L4 пересечения заданной прямой АВ с построенной окружностью сечения сферы плоскостью S. По линиям связей переносим построенные точки на прямую АВ в системе П1/П2.
В исходной системе плоскостей проекций определяем видимость прямой и заданной сферы. Часть прямой, расположенная внутри сферы, не видна на всех проекциях (это отрезки K1L1 и K2L2). Видимость других участков прямой зависит от видимости точек, в которых она пересекает сферу. Так как очка L2 расположена выше экватора, то на П1 отрезок В1L1 будет видимым. Точка К1 расположена перед главной меридианальной плоскостью, поэтому на П2 отрезок А2К2 видимый. На плоскости П1 часть прямой АК будет видна только за пределами сферы, так как ZА < Z0. На плоскости П2 видна часть прямой ВL только за пределами сферы, так как YL < Y0.
Контрольные вопросы
1. Укажите условия, при которых в сечении конуса вращения плоскостью получаются окружность, эллипс, парабола, гипербола, прямые линии.
2. Назовите возможные линии сечения цилиндра секущими плоскостями.
3. Какие точки линии пересечения поверхности полностью называются опорными (главными)?
4. Схема решения задачи на построение линии пересечения поверхности плоскостью частного положения.
5. Укажите последовательность графических построений определения точек пересечения прямой с поверхностью.
6. Схема решения задачи на построение сечения поверхности плоскостью общего положения.
7. Как выбирается вспомогательная секущая плоскость?
|
