Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Решение.
|
|
1. Изобразим структуру СМО (рисунок 6)
 |
Рисунок 6 – Структура анализируемой СМО
2. Определим интенсивность обслуживания одного покупателя одним кассиром
= 
покупателей в минуту.
Вычислим относительную интенсивность потока входных заявок
- финальные вероятности существуют.
3. Формализуем дискретные состояния СМО:
S0 – все кассиры (каналы обработки) свободны, в очереди нет ни одного покупателя;
S1 – один кассир занят остальные свободны, в очереди нет ни одного покупателя;
S2 – два кассира заняты, один свободен, в очереди нет ни одного покупателя;
S3 – все кассиры заняты, в очереди нет ни одного покупателя;
S4 – все кассиры заняты, в очереди находится один покупатель;
S5 – все кассиры заняты, в очереди находятся два покупателя;
S6 – все кассиры заняты, в очереди находятся три покупателя. Подошедший покупатель покидает минимаркет необслуженным.
4. Составим граф состояний и переходов СМО (рисунок 7)
| ||||||||||||||||
|
|
|
|
| ||||||||||||
 |
Рисунок 7 – Граф состояний и переходов
5. Анализ графа состояний и переходов
В графе, изображенном на рисунке 7, нет таких состояний (вершин), в которых есть входные стрелки и нет выходных («висячих вершин»), т.е. процесс, протекающий в таком графе является эргодическим (система может за конечное число шагов перейти из любого состояния в любое другое).
Следовательно, в такой системе будет наблюдаться стационарное (равновесное) состояние, и каждое состояние будет иметь свои предельные (финальные) вероятности:
Р0 – вероятность того, что в систему не поступило ни одной заявки (в магазине нет ни одного покупателя - кассиры простаивают). Соответствует состоянию S0;
Р1 – вероятность того, что в систему поступила одна заявка (магазин посетил один покупатель и он сразу прошел на одну из касс). Соответствует состоянию S1;
Р2 – вероятность того, что в систему поступило две заявки (магазин посетил второй покупатель и он сразу прошел ко второму кассиру (первый кассир еще обслуживает первого покупателя). Соответствует состоянию S2;
Р3 – вероятность того, что в систему поступило три заявки (магазин посетил третий покупатель и он сразу прошел к третьему кассиру (первый и второй кассиры еще обслуживают своих покупателей). Соответствует состоянию S3;
Р4 – вероятность того, что в систему поступило четыре заявки (магазин посетил четвертый покупатель, и он встал первым в очередь, т.к. все три кассира оказались занятыми). Соответствует состоянию S4;
Р5– вероятность того, что в систему поступило пять заявок (магазин посетил пятый покупатель, и он встал вторым в очередь, т.к. все три кассира и первое место в очереди оказались занятыми). Соответствует состоянию S5;
Р6– вероятность того, что в систему поступило шесть заявок (магазин посетил шестой покупатель, и он встал третьим в очередь, т.к. все три кассира и первое и второе места в очереди оказались занятыми). Соответствует состоянию S6. Любой очередной покупатель, если СМО находится в этом состоянии, получает отказ в обслуживании (покидает магазин необслуженным). Следовательно, Р6 = Ротк (вероятности отказа в обслуживании).
6. Составление системы уравнений, описывающей СМО (получение формальной модели)
Так как в данной системе имеется стационарный режим, то производные в левой части уравнений Колмогорова равны нулю и от системы дифференциальных уравнений можно сразу перейти к системе алгебраических уравнений, записав их в соответствии со следующим правилом: уравнения составляются для каждого состояния отдельно. Слева в уравнениях записывается предельная вероятность данного состояния Pi, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа - сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.
Для состояния S0: 
(уравнение 1);
для состояния S1: 
(уравнение 2);
для состояния S2: 
(уравнение 3);
для состояния S3: 
(уравнение 4);
для состояния S4: 
(уравнение 5);
для состояния S5: 
(уравнение 6);
для состояния S6: 
(уравнение 7);
Добавив уравнение нормировки
P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1 (т.к. других состояний быть не может),
получим систему уравнений.
Для многоканальных СМО с ограниченной очередью, по аналогии с предыдущими примерами, выведены следующие формулы
,
где n – число каналов обслуживания (для данной задачи n = 3);
,
где m – число мест в очереди (для данной задачи m = 3);
.
7. Вычислим финальные вероятности
P1= 2, 6 0, 06 = 0, 156
P2= 3, 38 0, 06 = 0, 203
P3= 2, 93 0, 06 = 0, 176
P4= 2, 54 0, 06 = 0, 152
P5= 2, 20 0, 06 = 0, 132
P6= 1, 91 0, 06 = 0, 115
Проверка (0, 06 + 0, 16 + 0, 203 + 0, 176 + 0, 152 + 0, 132 + 0, 115) = 0, 994 (д.б. 1, 0)
Полученные значения Р0 – Р6 - ответ на первый вопрос, поставленный в задаче
Вычислим вероятность отказа в обслуживании
Ротк = Р6 = 0.115
Вычислим относительную пропускную способность системы
Q = 1 - Pотк = 1 – 0, 115 = 0, 885
Вычислим абсолютную пропускную способность системы
А = λ Q = 0, 65 0, 885 = 0, 575
Задание 6 (выполнить по вариантам)
Вариант 1. В аудиторскую фирму поступает простейший поток заявок на обслуживание с интенсивностью λ = 1.5 заявки в день. Время обслуживания распределено по показательному закону и составляет в среднем три дня. Аудиторская фирма располагает пятью независимыми бухгалтерами, выполняющими аудиторские проверки (обслуживание заявок). Очередь заявок равна трем. Дисциплина очереди не регламентирована.
Требуется определить вероятность простоя аудиторов (в стационарном режиме системы)
Вариант 2. В аудиторскую фирму поступает простейший поток заявок на обслуживание с интенсивностью λ = 1.3 заявки в день. Время обслуживания распределено по показательному закону и составляет в среднем 4 дня. Аудиторская фирма располагает 6-ю независимыми бухгалтерами, выполняющими аудиторские проверки (обслуживание заявок). Очередь заявок равна трем. Дисциплина очереди не регламентирована.
Требуется определить вероятность отказа в обслуживании (проверке) (в стационарном режиме системы)
Вариант 3. В бухгалтерии предприятия имеется 3 кассира, каждый из которых может обслуживать в среднем 30 сотрудников в час. Время обслуживания распределено по показательному закону Поток сотрудников, получающих заработную плату - простейший с интенсивностью – 40 сотрудников час. Очередь в кассе ограничена и равна четырем. Дисциплина очереди не регламентирована.
Требуется определить абсолютную пропускную способность системы.
Вариант 4. В бухгалтерии предприятия имеется 4 кассира, каждый из которых может обслуживать в среднем 30 сотрудников в час. Время обслуживания распределено по показательному закону Поток сотрудников, получающих заработную плату - простейший с интенсивностью – 35 сотрудников час. Очередь в кассе ограничена и равна пяти. Дисциплина очереди не регламентирована.
Требуется определить относительную пропускную способность системы.
Вариант 5. В бухгалтерии предприятия имеется 2 кассира, каждый из которых может обслуживать в среднем 30 сотрудников в час. Время обслуживания распределено по показательному закону. Поток сотрудников, получающих заработную плату - простейший с интенсивностью – 45 сотрудников час. Очередь в кассе ограничена и равна двум. Дисциплина очереди не регламентирована.
Требуется определить вероятность отказа в обслуживании.
Вариант 6. Билетная касса работает без перерыва. Билеты продает один кассир. Среднее время обслуживания – 2 минуты на человека. Время обслуживания распределено по показательному закону. Среднее число пассажиров, желающих приобрести билеты в кассе в среднем 20 человек в час. Поток пассажиров – простейший.
Определить среднее время ожидания в очереди в условиях стационарного режима работы кассы.
Вариант 7. Данные, полученные при исследовании рынка ценных бума, показали, что рыночная цена одной акции некоторого акционерного общества может колебаться в пределах от 1000 до 2000 рублей включительно. Рассматривая в качестве системы одну такую акцию, нас интересуют следующие ее пять состояний, характеризующиеся рыночной ценой акции:
- от 1000 до 1200 руб. за акцию;
- от 1200 до 1400 руб. за акцию;
- от 1400 до 1600 руб. за акцию;
- от 1600 до 1800 руб. за акцию;
- от 1800 до 2000 руб. за акцию включительно
Замечено, что рыночная цена акции в будущем существенно зависит только от цены в текущий момент времени и не зависит от предыдущих цен. В силу случайных воздействий рынка изменение рыночной цены может произойти в любой случайный момент времени, при этом абсолютное изменение цены не превосходит 200 руб. Переходы системы из одного состояния в другое происходят с плотностями вероятностей, приведенными в матрице, при этом они пренебрежимо мало изменяются во времени
Н = 
Требуется спрогнозировать рыночную цену на акции и установить, стоит ли приобретать акции по цене 1700 руб. за акцию.
Вариант 8. Данные, полученные при исследовании рынка ценных бума, показали, что рыночная цена одной акции некоторого акционерного общества может колебаться в пределах от 1200 до 2000 рублей включительно. Рассматривая в качестве системы одну такую акцию, нас интересуют следующие ее пять состояний, характеризующиеся рыночной ценой акции:
- от 1200 до 1400 руб. за акцию;
- от 1400 до 1600 руб. за акцию;
- от 1600 до 1800 руб. за акцию;
- от 1800 до 2000 руб. за акцию включительно.
Замечено, что рыночная цена акции в будущем существенно зависит только от цены в текущий момент времени и не зависит от предыдущих цен. В силу случайных воздействий рынка изменение рыночной цены может произойти в любой случайный момент времени, при этом абсолютное изменение цены не превосходит 200 руб. Переходы системы из одного состояния в другое происходят с плотностями вероятностей, приведенными в матрице, при этом они пренебрежимо мало изменяются во времени
Н = 
Требуется спрогнозировать рыночную цену на акции и установить, стоит ли приобретать акции по цене 1600 руб. за акцию.
Вариант 9. Автозаправочная станция имеет две колонки, площадка возле нее допускает одновременно ожидание не более четырех машин. Поток автомобилей, прибывающих на АЗС – простейший с интенсивность 1 машина в минуту. Время обслуживания машины – показательное со средним временем обслуживания- 2 мин.
Требуется вычислить вероятность простоя АЗС в стационарном режиме.
Вариант 10. Автозаправочная станция имеет три колонки, площадка возле нее допускает одновременно ожидание не более пяти машин. Поток автомобилей, прибывающих на АЗС – простейший с интенсивность 1 машина в минуту. Время обслуживания машины – показательное со средним временем обслуживания- 2 мин.
Требуется вычислить вероятность отказа в обслуживании.
Вариант 11. В отделе технического контроля (ОТУ) предприятия работают три контролера. Если деталь поступает в ОТК, когда все контролеры заняты проверкой ранее поступивших деталей, то она проходит ОТК непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение часа, равно 24, среднее время, которое затрачивает контролер на проверку одной детали, равно 5 мин. Входной поток и поток обслуживания – простейшие.
Определить:
1) вероятность того, что деталь пройдет ОТК непроверенной;
2) сколько необходимо контролеров, чтобы вероятность проверки деталей была бы не менее 0, 95
Вариант 12. Сберкасса имеет трех контролеров –кассиров доя обслуживания вкладчиков. Поток вкладчиков – простейший с интенсивностью 30 чел в час.. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного клиента равна 3 мин. Время обслуживания распределено по показательному закону. Очередь к контролерам общая с длиной не более 5 чел.
Определить:
1) вероятность простоя контролеров- кассиров в течение рабочего дня;
2) вероятность отказа в обслуживании.
Вариант 13. Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с овощами поступают в случайные моменты времени с интенсивностью 6 машин в день Подсобные помещения и оборудован е для подготовки овощей позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный не более, чем двумя машинами. В магазине работают три фасофщика, каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течение 4 час. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 час.
Определить, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность обработки овощей была бы не менее 0, 97.
Вариант 14. Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с овощами поступают в случайные моменты времени с интенсивностью 6 машин в день Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный не более, чем двумя машинами. В магазине работают три фасофщика, каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течение 4 час. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 час. Входной поток машин – простейший. Время обслуживания одной машины распределено по показательному закону.
Определить, сколько минимально должно быть фасовщиков, чтобы вероятность обработки овощей была бы не менее 0, 97.
Вариант 15. Салон-парикмахерская имеет 4 мастера. Входной поток клиентов – простейший с интенсивность – 5 человек в час. Время обслуживания клиентов распределено по показательному закону со средним временем 40 мин. В очереди может находиться не более 2-х клиентов.
Определить:
1) среднее время пребывания одного клиента в салоне;
2) вероятность отказа в обслуживании.
Вариант 16. Коммерческая фирма занимается посреднической деятельностью по продаже автомобилей, осуществляя при этом переговоры по трем телефонным линиям. Поток входных заявок – простейший с интенсивностью 75 звонков в час. Время обслуживания клиентов по телефону распределено по показательному закону со средним временем 2 минуты на одного клиента.
Требуется рассчитать:
1) вероятность простоя линий связи;
2) абсолютную пропускную способность системы.
Вариант 17. На плодоовощную базу в среднем через 30 мин прибывают автомашины с плодоовощной продукцией. Поток машин – простейший. Время разгрузки машин распределено по показательному закону со средним временем 1, 5 час. Разгрузку производят две бригады грузчиков. На территории базы у дебаркадера могут находиться в очереди в ожидании разгрузки не более четырех машин.
Требуется вычислить:
1) вероятность обслуживания машины (относительную пропускную способность системы);
2) абсолютную пропускную способность системы.
Вариант 18. На пункте профилактического осмотра автомашин автопредприятия имеется два рабочих места проверки. На пункт осмотра в среднем поступает 35 машин в сутки. На осмотр одной машины затрачивается в среднем 0, 5 часа. Потоки заявок и обслуживания – простейшие. Очередь перед обоими рабочими местами общая длиной не более 3 машин.
Определить:
1) финальные вероятности всех состояний системы;
2) абсолютную пропускную способность системы.
Вариант 19. На пункте профилактического осмотра автомашин автопредприятия имеется три рабочих места проверки. На пункт осмотра в среднем поступает 40 машин в сутки. На осмотр одной машины затрачивается в среднем 0, 5 часа. Потоки заявок и обслуживания – простейшие. Очередь перед обоими рабочими местами общая длиной не более 5 машин.
Определить:
1) финальные вероятности всех состояний системы;
2) абсолютную пропускную способность системы.
Вариант 20. Коммерческая фирма занимается посреднической деятельностью по продаже автомобилей, осуществляя при этом переговоры по двум телефонным линиям. Поток входных заявок – простейший с интенсивностью 45 звонков в час. Время обслуживания клиентов по телефону распределено по показательному закону со средним временем 1, 5 минуты на одного клиента.
Требуется рассчитать:
1) вероятность простоя линий связи;
2) абсолютную пропускную способность системы.
Вариант 21. Внуиренний рынок страны может пребывать в одном из трех исключающих друг друга состояниях:
S1 – «рынок покупателя», т.е состояние, при котором предложение товаров превышает спрос на них (кризис перепроизводства);
S2 – «рынок продавца», т.е состояние, при котором спрос на товары превышает их предложение (кризис дефицита товаров);
S3 - «рынок равновесия», т.е. состояние, при котором наблюдается равенство спроса и предложения.
Данные, полученные в результате изучения различных рыночных сегментов (т.е. отдельных групп населения, предприятий и др. потребителей), свидетельствуют о том, что состояние рынка в будущем существенно зависит от его состояния в настоящем и не существенно от прошлых состояний. Рынок из состояния в состояние может переходить в любые случайные моменты времени.
Плотности вероятностей переходов пренебрежимо мало изменяются в течение изучаемого периода времени и задаются следующей матрицей:
А = 
.
Требуется определить:
1) существует лив этих условиях стационарный (финальный) режим функционирования рынке?
2) если да, то вычислить значения всех финальных вероятностей.
Вариант 22. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов 0, 4 судов в сутки. Поток поступления судов – простейший. Врем разгрузки судов распределено по показательному закону со средним 2 суток. Вновь приходящее судно покидает причал без разгрузки, если в очереди на разгрузку находится более 3 судов.
Требуется вычислить:
1) вероятность простоя причала;
2) вероятность того, что судно покинет причал неразгруженным.
Литература: Методы оптимальных решений в экономике и финансах: учебник/коллектив авторов; под ред. В.М. Гончаренко, В.Ю. Попова.- М.: КНОРУС, 2013.-400с. С. 234-246
|
|