Тема: Принятие решений в СМО с эргодическими процессами

Лабораторная работа 6

Задание 1.(изучить) Уравнения Колмогорова дают возможность выразить все вероят­ности состояний как функции времени.

Однако особый интерес представ­ляют вероятности системы Рi(t) в предельном стационарном режи­ме, т.е. при t → ∞, которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказывается, что если интенсивности переходов из одного состояния в другое величины постоянные (λ _ij = const), число со­стояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные веро­ятности существуют.

Предельная вероятность состояния S_iимеет явно выраженный смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состоя­ния S₀ = 0, 5, т.е. Р_о=0, 5, то это означает, что в среднем половину времени система будет находиться в состоянии S₀.

Так как предельные вероятности постоянны, то в левых частях уравнений Колмогорова производные равны нулю, и система дифференциальных уравнений превращается в систему линейных алгебраических уравнений, описы­вающих стационарный режим.

В этом случае можно не составлять систему дифференциальных уравнений, а прямо по графу записывать систему алгебраических уравнений, руководствуясь следующим формальным правилом: слева в уравнениях записывается предельная вероятность данного состояния P_i, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа - сумма произведений интенсивностей всех потоков, вхо­дящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из кото­ рых эти потоки исходят.

Задача 1. Вычислить финальные вероятности состояний системы, граф которой имеет вид, представленный на рисунке 1.

Рисунок 5- Граф состояний и переходов

Зададимся численными значениями интенсивностей

λ ₀₁ = 1; λ ₀₂ = 2; λ ₁₃ = 3; λ ₂₃ = 4;

μ ₁₀ = 2; μ ₂₀ = 3; μ ₃₁ = 4; μ ₃₂ = 5.

Требуется рассчитать финальные вероятности состояний системы и дать интерпретацию полученных результатов.