Принятие решений по критерию Лапласа (критерию Бернулли-Лапласа)

Этот критерий опирается на «принцип недо­статочного основания» Лапласа, согласно которому все состояния «природы» S_ij j= 1, n полагаются равновероятными. В соответствии с этим принципом каждому состоянию S_j ставится в соответствие вероятность q_i, определяемая по формуле

.

При этом, исходной может рассматриваться задача принятия решения в условиях риска, когда выбирается действие R_i, дающее наибольший ожидаемый выигрыш. Для принятия решения для каж­дого действия R_i вычисляют среднее арифметическое значение вы­игрыша:

Среди M_j(R) ) выбирают максимальное значение, которое будет соответствовать оптимальной стратегии R_i

.

Если в исходной задаче матрица возможных результатов пред­ставлена матрицей рисков |r_ji|, то критерий Лапласа принимает вид

Если элементы матрицы возможных результатов представляют собой расходы, то критерий Лапласа – Бернулли имеет следующий вид

.

Из анализа критерия Лапласа – Бернулли следует, что по существу он представляет собой частный случай критерия максимума математического ожидания, использовавшегося в задаче на приятие решения в условиях риска.

Пример 3.1. Одно из транспортных предприятий должно опре­делить уровень своих провозных возможностей так, чтобы удовле­творить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый пе­риод.

Спрос на транспортные услуги не известен, но ожидается (прогнозируется), что он может принять одно из четырех значений: 10, 15, 20 или 25 тыс. т.

Для каждого уровня спроса существует наилуч­ший уровень провозных возможностей транспортного предприятия (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения про­возных возможностей над спросом (из-за простоя подвижного со­става), либо из-за неполного удовлетворения спроса на транспорт­ные услуги.

В таблице 1, приведены возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных возможностей.

Таблица 1 – Прогнозируемые затраты на осуществление перевозок

Необходимо выбрать оптимальную стратегию организации перевозок.

Решение. Согласно условию задачи имеются четыре варианта спроса на транспортные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний «природы»: S₁, S₂, S₃, S_4.

Известны также четыре стратегии разви­тия провозных возможностей транспортного предприятия: R₁, R₂, R₃, R₄.

Затраты на развитие возможностей при каждой паре S_j и R_i заданы следующей матрицей:

Принцип Лапласа предполагает, что S_l, S₂, S₃, S₄ равновероятны.

Следовательно,

Р{S=S_j} = .

Ожидаемые затраты при стратегиях R₁, R₂, R₃, R₄ соответственносоставляют:

W{R₁}= 0, 25 (6 + 12 + 20 + 24) = 15, 5;

W{R₂} = 0, 25 (9 + 7 + 9 + 28) = 13, 25;

W{R_з} = 0, 25 (23 + 18 + 15 + 19) = 18, 7;

W{R4} = 0, 25 (27 + 24 + 21 + 15) = 21, 75.

Таким образом, наилучшей стратегией развития возможностей транспортного предприятия в соответствии с критерием Лапласа будет R₂ (где минимум затрат).