Итерационные методы вариационного типа

Рассмотрим канонический вид итерационной схемы (6.3).

Введем понятия невязки r^(k)=A x^(k) - f и погрешности v^(k) = D^1/2 (x^(k)-x^*), где x^* - точное решение и D - самосопряженный, положительно определенный оператор в вещественном гильбертовом пространстве H.

Назовем w^(k) = B^-1 r^(k) поправкой.

Будем выбирать параметр t_k+1 из условия минимума нормы погрешности при переходе от одной итерации к другой. Умножим итерационную схему на D^1/2:

D^1/2 x^(k+1)=D^1/2 x^(k)-t_k+1(D^1/2 Ax^(k)-D^1/2 Ax^*),

v^(k+1)=v^(k)-t_k+1(D^1/2 A D ^-1/2 D^1/2(x^(k)-x^*)),

v^(k+1)=v^(k)-t_k+1 C v^(k),

где обозначено C=D^1/2 A D ^-1/2.

Имеем

.

Из условия найдем .

Рассмотрим следующие методы.

Mетод скорейшего спуска

Неявная схема: B=B^*> 0, D=A, А=А^T> 0.

.

Явная схема: B=E,

.

Метод минимальных невязок

Явная схема: B=E, D=A^* A, А> 0.

Если A=A^*, то D^1/2=A и C=A.

v^(k+1)=D^1/2(x^(k)-x^*)=A (x^(k)-x^*)=A x^(k)-f = r^(k),

.

Метод минимальных поправок

Неявная схема: B=B^*> 0, D=A^* B^-1 A, А> 0,

.

Метод минимальных погрешностей

Неявная схема: B=(A^*)^-1B₀, D=B₀> 0, B₀= B₀^T, B₀w^(k)=A^*r^(k),

.

Явная схема: B=E, A^*=B₀,

.