Метод Гаусса. Метод Гаусса относится к классу точных методов, т

Метод Гаусса относится к классу точных методов, т. е. точное решение можно найти за конечное число арифметических операций, в предположении, что нет ошибок округления. В методе Гаусса число арифметических операций равно (2/3)∙ m³. Любую матрицу A можно представить в виде произведения верхнетреугольной V и нижнетреугольной L матриц:

A=L∙ V.

Если зафиксировать главную диагональ у верхнетреугольной (нижне-треугольной) матрицы, то такое разложение единственно и тогда решение системы можно разбить на два этапа:

- нахождение матриц L и V;

- решение СЛАУ Ly=f и Vx=y.

Метод Гаусса включает прямой ход - исключения неизвестных, и обратный ход - нахождения решения.

Рассмотрим решение СЛАУ Ax=f, состоящее из n неизвестных.

(6.2)

Этап I метода Гаусса (прямой ход метода) сводится к преобразованию исходной матрицы к верхнетреугольному виду, используя пошаговое исключение переменных из системы.

Шаг 1. Разделим первое уравнение на a₁₁≠ 0, из второго вычитаем первое, умноженное на a₂₁, из третьего вычитаем первое, умноженное на a₃₁, и т. д.

Получим

На этом 1- й шаг исключения завершен.

Далее рассмотрим систему:

И аналогичным образом исключим неизвестное x₂. Получим систему вида

Таким образом, на каждом k -м шаге будем исключать переменную x_k (k = 1, 2, …, n -1) по следующему алгоритму:

Получим СЛАУ:

Обозначим матрицу коэффициентов V=M^(n-1)…M⁽²⁾M⁽¹⁾A, вектор правой части g=M^(n-1)…M⁽²⁾M⁽¹⁾f.

Этап II метода Гаусса (обратный ход метода) состоит в нахождении решения СЛАУ Vx=g из системы с верхнетреугольной матрицей:

,

, i= n-1, …, 1.