Раздел III дифференциальное исчисление

Тема 6 Производная

Задачи, приводящие к понятию производной. Производная, ее геометрический, механический и экономический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой; Дифференцируемость функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (необходимый признак дифференцируемости). Основные правила и основные формулы дифференцирования. Производная сложной функции Производные высших порядков.

Необходимо изучить задачи, приводящие к понятию производной: задачи о касательной и задачи о скорости движения, задачи о производительности труда (экономический смысл производной).

После этого нужно усвоить определение производной как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Нужно знать обозначение производной, алгоритм ее вычисления, основываясь на теории пределов.

Студент обязан понимать геометрический и механический смысл производной, уметь решать простейшие задачи по вычислению производной на основе алгоритма ее вычисления; знать и уметь применять основные правила дифференцирования, вычислять производную сложной и обратной функций. При этом нужно знать четко правила вычисления элементарных функций, знать наизусть таблицу производных. Это позволит усвоить дифференцирование сложных функций, обратных функций, неявно заданных функций, находить производные от произведения, суммы, разности, а также вычислять производные высших порядков. Нужно знать использование понятия производной в экономике, понятие эластичности функции, свойства эластичности функции.

Изучая материал этой темы, студенты знакомятся с необходимым условием дифференцируемости функции. Необходимо четко уяснить, что из дифференцируемости функции в некоторой точке следует ее непрерывность в этой точке. Обратная теорема несправедлива, так как существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках могут не иметь производной.

Для усвоения темы нужно решить задачи контрольной работы, ответить письменно на теоретические вопросы в контрольной работе.

Таблица соотношения начальной буквы фамилии студента и варианта контрольных заданий

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ВАРИАНТ №1

Задание № 1 Найти матрицу С, если: С=А^ТВ-2В^Т, А= , В= .

Задание № 2 Решить систему линейных уравнений методами:

· по формулам Крамера,

· методом Гаусса.

Задание № 3 На плоскости даны три точки А, В, С. Найти методами векторной алгебры:

· длину стороны АВ;

· общие уравнение сторон АВ и ВС и угловые коэффициенты этих прямых;

· косинус внутреннего угла при вершине В;

· уравнение медианы АЕ;

· уравнение и длину высоты СD;

· уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ;

· площадь треугольника АВС.

А (2, 3); В (1, 3); С (-6, -4).

Задание № 4 Вычислить пределы: ;

;

;

Задание № 5 Найти производные функций: 1. 2.

3.

4.

5.

6.

ВАРИАНТ №2

Задание №1 Найти матрицу С, если: С=АВ^Т-А^Т, А= , В=

Задание №2 Решить систему линейных уравнений методами:

· по формулам Крамера,

· методом Гаусса.

Задание №3 На плоскости даны три точки А, В, С. Найти методами векторной алгебры:

· длину стороны АВ;

· общие уравнение сторон АВ и ВС и угловые коэффициенты этих прямых;

· косинус внутреннего угла при вершине В;

· уравнение медианы АЕ;

· уравнение и длину высоты СD;

· уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ;

· площадь треугольника АВС.

А (1, 1); В (-3, 3); С (-5, -2).

Задание №4 Вычислить пределы: ;

;

;

Задание №5 Найти производные функций: 1. 2.

4.

5.

6.

ВАРИАНТ №3

Задание №1 Найти матрицу С, если: С=А^ТВ-ВА^Т, А= , В= .

Задание №2 Решить систему линейных уравнений методами:

· по формулам Крамера,

· методом Гаусса.

Задание №3 На плоскости даны три точки А, В, С. Найти методами векторной алгебры:

· длину стороны АВ;

· общие уравнение сторон АВ и ВС и угловые коэффициенты этих прямых;

· косинус внутреннего угла при вершине В;

· уравнение медианы АЕ;

· уравнение и длину высоты СD;

· уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ;

· площадь треугольника АВС.

А (1, 2); В (-2, 3); С (-2, -3).

Задание №4 Вычислить пределы: ;

;

;

Задание №5 Найти производные функций: 1. 2

3.

4.

5.

6.

ВАРИАНТ №4

Задание №1 Найти матрицу С, если: С=АВ^Т-3В, А= , В= .

Задание №2 Решить систему линейных уравнений методами:

· по формулам Крамера,

· методом Гаусса.

Задание №3 На плоскости даны три точки А, В, С. Найти методами векторной алгебры:

· длину стороны АВ;

· общие уравнение сторон АВ и ВС и угловые коэффициенты этих прямых;

· косинус внутреннего угла при вершине В;

· уравнение медианы АЕ;

· уравнение и длину высоты СD;

· уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ;

· площадь треугольника АВС.

А (2, 1); В (-3, 2); С (-1, -4).

Задание №4 Вычислить пределы: ;

;

;

Задание №5 Найти производные функций: 1. 2.

4.

5.

6.

ВАРИАНТ №5

Задание №1 Найти матрицу С, если: С=2А^ТВ-ВА^Т, А= , В= .

Задание №2 Решить систему линейных уравнений методами:

· по формулам Крамера,

· методом Гаусса

Задание №3 На плоскости даны три точки А, В, С. Найти методами векторной алгебры:

· длину стороны АВ;

· общие уравнение сторон АВ и ВС и угловые коэффициенты этих прямых;

· косинус внутреннего угла при вершине В;

· уравнение медианы АЕ;

· уравнение и длину высоты СD;

· уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ;

· площадь треугольника АВС.

А (1, 3); В (-2, 2); С (-3, -5).

Задание №4 Вычислить пределы: ;

;

;

Задание №5 Найти производные функций: 1. 2.

4.

5.

6.

ВАРИАНТ №6

Задание №1 Найти матрицу С, если: С=(В+АВ)^Т, А= , В= .

Задание №2 Решить систему линейных уравнений методами:

· по формулам Крамера,

· методом Гаусса.

Задание №3 На плоскости даны три точки А, В, С. Найти методами векторной алгебры:

· длину стороны АВ;

· общие уравнение сторон АВ и ВС и угловые коэффициенты этих прямых;

· косинус внутреннего угла при вершине В;

· уравнение медианы АЕ;

· уравнение и длину высоты СD;

· уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ;

· площадь треугольника АВС.

А (3, 1); В (-3, 1); С (2, -3).

Задание №4 Вычислить пределы: ;

;

;

Задание №5 Найти производные функций: 1. 2.

4.

5.

6.

ВАРИАНТ №7

Задание №1 Найти матрицу С, если: С=(А-ВА)^Т, А= , В= .

Задание №2 Решить систему линейных уравнений методами:

· по формулам Крамера,

· методом Гаусса.

Задание №3 На плоскости даны три точки А, В, С. Найти методами векторной алгебры:

· длину стороны АВ;

· общие уравнение сторон АВ и ВС и угловые коэффициенты этих прямых;

· косинус внутреннего угла при вершине В;

· уравнение медианы АЕ;

· уравнение и длину высоты СD;

· уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ;

· площадь треугольника АВС.

А (2, 2); В (-1, 3); С (0, -5).

Задание №4 Вычислить пределы: ;

;

;

Задание №5 Найти производные функций: 1. 2.

4.

5.

6.

ВАРИАНТ №8

Задание №1 Найти матрицу С, если: С=(АВ+ВА)^Т, А= , В= .

Задание №2 Решить систему линейных уравнений методами:

· по формулам Крамера,

· методом Гаусса.

Задание №3 На плоскости даны три точки А, В, С. Найти методами векторной алгебры:

· длину стороны АВ;

· общие уравнение сторон АВ и ВС и угловые коэффициенты этих прямых;

· косинус внутреннего угла при вершине В;

· уравнение медианы АЕ;

· уравнение и длину высоты СD;

· уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ;

· площадь треугольника АВС.

А (3, 2); В (-2, 1); С (-5, -5).

Задание №4 Вычислить пределы: ;

;

;

Задание №5 Найти производные функций: 1. 2.

4.

5.

6.

ВАРИАНТ №9

Задание №1 Найти матрицу С, если: С=2А(А-В)^Т, А= , В= .

Задание №2 Решить систему линейных уравнений методами:

· по формулам Крамера,

· методом Гаусса.

Задание №3 На плоскости даны три точки А, В, С. Найти методами векторной алгебры:

· длину стороны АВ;

· общие уравнение сторон АВ и ВС и угловые коэффициенты этих прямых;

· косинус внутреннего угла при вершине В;

· уравнение медианы АЕ;

· уравнение и длину высоты СD;

· уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ;

· площадь треугольника АВС.

А (2, 3); В (-1, 2); С (-4, -4).

Задание №4 Вычислить пределы: ;

;

;

Задание №5 Найти производные функций: 1. 2.

4.

5.

6.

ВАРИАНТ №10

Задание №1 Найти матрицу С, если: С=А^Т (В+А), А= , В= .

Задание №2 Решить систему линейных уравнений методами:

· по формулам Крамера,

· методом Гаусса.

Задание №3 На плоскости даны три точки А, В, С. Найти методами векторной алгебры:

· длину стороны АВ;

· общие уравнение сторон АВ и ВС и угловые коэффициенты этих прямых;

· косинус внутреннего угла при вершине В;

· уравнение медианы АЕ;

· уравнение и длину высоты СD;

· уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ;

· площадь треугольника АВС.

А (3, 3); В (-1, 1); С (0, -7).

Задание №4 Вычислить пределы: ;

;

;

Задание №5 Найти производные функций: 1. 2.

4.

5.

6.

РЕКОМЕНДУЕМЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Высшая математика для экономистов: учебник для студ. вузов / Ред. Н.Ш. Кремер. - 3-е изд. - М.: ЮНИТИ, 2010. - 479 с.

2. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: практикум: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по экономическим спец. / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ, 2010. - 478 с.

3. Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: учеб. для вузов / М.С. Красс, Б.Н. Чупрынов. - М.: Дело, 2005. - 452с.