Определние и услвия сущ-ния двойных интегралов.Геом смысл.Св-ва.

Пусть G – замкнутая (содержит все свои точки) и ограниченная область.

Ф-я z=f(x, y) на этой области определена и ограничена.

Граница области G составлена из точек y_i=f_i(x) и x_i=f_i(y).

Введем понятие интегральной суммы:

1. Разобьем обл. G на n произвольных частей (G_i, i=1, n). G_i – частичная область. Полученные частичные области не имеют общих точек. DS_i, i=1, n – площадь частичной области.

В каждой частичной области выберем точку с координатами (α _I, β _I). Вычислим значение ф-и в этой точке (f(α _I, β _I)) и составим такую сумму:

n

(1) s=å f(α _I, β _I)DS_i

i=1

(1) – интегральная сумма ф-и f(x, y) в обл G.

d_I – диаметр области G_i

l - диаметр разбиения: l=maxd_I

Определение ò ò

Если интегральная сумма (1) при l®0 имеет предел, равный I, то этот предел называется ò ò от ф-и f(x, y) по области G и обозначается:

I=ò ò f(x, y)dxdy

G

f(x, y) – подынтегральная функция.

Если ò $, то говорят, что ф-я f(x, y) интегрируема по области G, G называют областью интегрирования; х, у – переменными интегрирования; dxdy– элементом площади.

Замечание. Условие огранич ф-ии z=f(x, y) явл необходим, но не достаточным.

Достат условие формулировки с исп-ем сумм Дарбу (кот полностью переносится аналогично в ф-лу).

Теорема1. Ф-ия f(x, y) непрерывная в замкнутой огран обл G, интегрир в обл G.

Теорема2. Ф-ия f(x, y) огран в замкнутой огран обл G и непрер в ней всюду, кроме точек …….. на конечном числе кривых явл графиками ф-ии y=f(x) и x=g(y), где f и g непрер и интегрир в этой обл.

Геометрический смысл ò ò

Пусть в пространстве дано тело Р, ограниченное:

1.Сверху – графиком непрерывной и неотрицательной функции z=f(x, y)

2.Снизу – областью G

3.Сбоку – цилиндрической поверхностью.

Направляющей этой цилиндрической поверхности является область G, а образующими – прямые, || оси z.

Такое тело называется криволинейным цилиндром

Интегр сумма σ -это сумма объемов цилиндриков, в которой можно принять приближенно за тело Р, это приближенное равенство тем точнее, чем меньше область разбиения G на части, т е при переходе к пределу при l®0 мы получаем равенство

n

VP = limå f(α, β)DS_i.

l®0 i=1

Т.о. геометрический смысл ò ò:

ò ò от непрерывной, неотрицательной, ограниченной функции равен объему криволинейного цилиндра.

Следствие: Если f(x, y) º 1 для всех (x, y)€G, то I=ò ò f(x, y)dxdy =lim при λ → 0 ∑ f(α, β)* DS_i= limå DS_i = S_G.

l®0 i=1

Свойства ò ò.

1.ò ò kf(x, y)d'xd'y = kò ò f(x, y)d'xd'y

2. ò ò (f(x, y) + g(x, y))d'xd'y = ò ò f(x, y)d'xd'y + ò ò _Gg(x, y)d'xd'y.

3. ò ò f(x, y)d'xd'y = ò ò f(x, y)d'xd'y + ò ò f(x, y)d'xd'y.

Теорема о среднем:

Если ф-я f(x, y) непрерывна в области G, то в этой области $ точка с координатами (α _I, β _I), такая, что

f(α _I, β _I)*S = ò ò f(x, y)d'xd'y, где S – площадь области G.