Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

[T] Если функция u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на [a, b] то справедлива формула

Доказательство Так как функция u(x) и v(x) по условию имеют производные, то по правилу дифференцирования произведения [u(x)v(x)]’=u(x)v’(x)+v(x)u’(x). Откуда следует, что функция u(x)v(x) является первообразной для функции u(x)v’(x)+v(x)u’(x). Тогда по формуле Ньютона-Лейбница Отсюда , ч т.д.

29. Приложение определенного интеграла: площадь криволин трапеции, длина дуги плоской кривой, объем тела вращения и площадь поверхности.

Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную [a, b] оси Ох, прямыми x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на [a, b]. S=

Геометрический смысл определнного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции f(x) на [a, b] численно равен площади криволинейной трапеции.