Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Основні поняття






 

Через u позначимо швидкість руху частинки. Причому, якщо рух усталений, то , де – віддаль від точки, яка рухається, до деякого початку . При такому записі задається залежність (функціональна) швидкості точки, що рухається, від її положення, тобто від значення місцезнаходження частинки (її віддалі від початку відліку ). За допомогою можемо визначити її швидкість. Так, наприклад, при вільному падінні частинки масою з висоти в середовищі, опором якого нехтуємо, швидкість частинки в залежності від її положення визначається формулою

, (2.1)

де – віддаль частинки від поверхні землі (від початку відліку ).

Надаючи різних значень , у формулі (2.1) можна знайти швидкість частинки, яка падає, на різних віддалях від поверхні землі. При визначенні швидкості частинки в різних її положеннях (її віддалях від поверхні землі) ; та ін. досить у формулі (2.1) замінити на , та ін. Якщо, наприклад, , то за формулою (2.2) - швидкість частинки у положенні , а - швидкість частинки у положенні (рисунок 2.1).

Таким чином, або визначає швидкість частинки, яка знаходиться на віддалі від початку відліку. Точно також визначає швидкість тієї ж частинки на віддалі від початку відліку. Зміна швидкості частинки при переході з положення в положення визначається рівністю

. (2.2)

В подальшому будемо називати приростом функції, а – приростом аргументу. При цьому малим значенням відповідають малі значення . Іншими словами, якщо , то .

Необхідно зауважити, що також є функцією , тобто при одному і тому ж прирості приріст функції для різних точок і не буде рівним.

Так як в подальшому приймемо , то зупинимося на визначенні знаку приросту функції .

Якщо , тобто, наприклад, швидкість в точці більше, ніж в точці , то і швидкість точки зростає. Якщо ж , тобто значення функції (в нашому прикладі значення швидкості) в точці більше, ніж в точці , то , і функція, що розглядається, спадає.

 


Рисунок 2.1 – Рух частинки при падінні.

 

Таким чином, у всьому інтервалі, де , функція росте, а де - вона спадає. На рисунку 2.2 в інтервалі функція зростає, і, отже, в усіх точках цього інтервалу , а в інтервалі вона спадає і, отже, .

Відношення характеризує швидкість зміни функції в залежності від на відрізку . Щоб знайти характер зміни в даній точці , необхідно обчислити

. (2.2)

Формула (2.2) характеризує швидкість зміни у залежності від . Вона дає похідну від функції по аргументу . Якщо функція є залежністю швидкості від положення рухомої точки, то дає значення градієнта швидкості у напрямі осі , тобто характеризує швидкість (і характер) зміни швидкості. Якщо , то швидкість на шляху зростає, якщо ж , то вона зменшується.

Чим більша абсолютна величина , тим більша зміна швидкості в точці . Таким чином, якщо на деякому інтервалі додатна величина, то це означає зростання функції , а якщо від'ємна велиична, то – зменшення. Якщо ж в деякій точці має місце , то в цій точці функція досягає або свого максимуму (точка переходу від зростання до зменшення), або свого мінімуму (точка переходу від зменшення до зростання).

Рисунок 2.2 – Характер зміни функції.

 

При неусталеному русі, коли швидкість частинки, що рухається, не тільки змінюється при переході з одної точки до іншої, але і у кожній точці змінюється у часі, позначимо через швидкість точки, яка знаходиться на віддалі від початку відліку у момент часу . Точно також через позначимо швидкість тієї ж частинки у момент часу . Таким чином, буде означати швидкість точки, яка знаходиться на віддалі від початку відліку у момент часу , і, нарешті, - швидкість частинки у точці у момент часу .

Необхідно особливо зауважити, що, у загальному випадку, , , і між собою не рівні, але усі вони будуть прямувати до величини при і . У нашому прикладі і відповідають значенням швидкості частинки на віддалі від початку відліку у моменти часу і . Тому є приростом швидкості частинки в даній точці за проміжок часу . Точно також є різниця швидкостей частинок, які характеризуються у точках х і у момент часу . Іншими словами, характеризує зміну швидкості у часі в даній фіксованій точці , а - зміну швидкості у даний момент часу у різних точках і . При цьому і будуть залежати від і .

Якщо , то у даній точці швидкість частинки з часом росте, якщо ж , то вона зменшується.

Аналогічно , то швидкість у точці у даний момент часу більше, ніж в точці , якщо ж , то швидкість у точці більше, ніж у точці . Відзначимо, що і в цьому випадку при величина і при величина .

Характер зміни у різних точках у даний момент часу можна виразити формулою

. (2.3)

Ця рівність являє собою часткову похідну від функції по у даний момент часу , яка характеризує поведінку функції (її зростання чи зменшення, а також швидкість зміни) вздовж осі в даний момент часу .

Також

, (2.4)

є частковою похідною від функції за часом у фіксованій точці , яка характеризує поведінку функції (її зростання чи зменшення, а також швидкість зміни у часі в розглядуваній точці ).

Таким чином, якщо , то в усіх розглядуваних точках функція росте у часі, якщо ж , то – спадає. Також, якщо , то в даний момент часу вздовж осі функція росте, а при , спадає.

Ще раз зауважимо, що за допомогою формули (2.2) визначається зміна швидкості (функція вздовж осі у даний фіксований момент часу ), а за допомогою формули (2.4) – зміна швидкості (функція в часі у даній фіксованій точці ). Іншими словами, при одержанні формули (2.3) час рахуємо фіксованим, а при одержанні формули (2.4) значення рахується фіксованим. Тому

(2.5)

означає зміну швидкості (функція ) уздовж осі у даний момент часу . Причому при формули (2.3) і (2.5) співпадають. Також

(2.6)

означає зміну швидкості (функція в часі у даній фіксованій точці . Причому при формули (2.4) і (2.6) співпадають.

З математичного аналізу відомо, що, якщо

, (2.7)

то

, (2.8)

де при , тобто при малих значеннях величина як завгодно мала.

Перепишемо (2.8) у вигляді

. (2.9)

Так як - величина кінцева і не залежить від , то при малих значеннях другий член у правій частині формули (2.9), тобто , є мала величина більш високого порядку, ніж перший член . Тому, нехтуючи величиною у порівнянні з і позначаючи для значень , з формули (2.9) одержимо

. (2.10)

Таким же чином з формули (2.7) знаходимо

. (2.11)

Нижче наведемо деякі відомості з векторного числення, необхідні при подальшому поданні матеріалу.

Векторна величина а визначається в загальному випадку трьома проекціями на осі декартової системи координат, тобто

, (2.12)

де - одиничні вектори відповідно осей , і .

Величину знаходимо за формулою

. (2.13)

Градієнт скалярної величини (grad) є вектором, направленим по нормалі до поверхні . Наприклад, в випадку плоско-радіальної фільтрації нестискуваної рідини (одиночна циліндрична свердловина в центрі круглого циліндричного пласта) градієнт тиску направлений по радіусу, так як поверхні рівного тиску – циліндричні кола. Градієнт скалярної величини виражається формулою

, (2.14)

де - проекції вектора відповідно на осі , і , отже

. (2.15)

Широко застосовується в нафтопромисловій механіці і поняття скалярної величини – дивергенції векторної величини

, (2.16)

де , i – проекції на осі , і .

Виходячи з визначення дивергенції і градієнта маємо

. (2.17)

Знак (набла в квадраті), або (дельта), носить назву оператора Лапласа.

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.