Интегрирование сильно осциллирующих функций.

1. Постановка задачи.

Большую часть реально встречающихся подынтегральных функций составляют функции с особенностями, причем особенность может содержаться либо в функции, либо в ее производной, или функции, производные которых очень велики.

Такие функции плохо аппроксимируются многочленами и поэтому для вычисления соответствующих интегралов оказываются неэффективными стандартные квадратурные формулы.

Пример. Вычислить интеграл

по формуле прямоугольников.

Решение. Функция имеет особенность в точке x = 0. Применим для вычисления данного интеграла

формулу прямоугольников с постоянным шагом

,

где , i =1, 2, …, n.

Результаты вычислений для нескольких значений шага h приведем в следующей таблице.

h
0.200 0.100 0.050 0.025	1.420 1.499 1.555 1.594	2.7*10-1 1.9*10-1 1.4*10-1 9.6*10-2

Из таблицы видно, что значения сходятся очень медленно.

Укажем на некоторые подходы к вычислению интегралов с особенностями, которые учитывают особенности поведения подынтегральной функции и поэтому значительно сократить затраты машинного времени или достичь большей точности.

2. Разбиение промежутка на части.

Пусть подынтегральная функция F является кусочно-гладкой и — известные точки разрыва функции F либо ее производных. В этом случае можно представить интеграл

(1)

в виде суммы

. (2)

Вычисление каждого из интегралов суммы (2) представляет собой стандартную задачу, т.к. на каждом из частичных отрезков функция F(x) является гладкой.

3. Выделение веса.

В некоторых случаях функция F(x) допускает разложение на два сомножителя: F(x)=p(x)*f(x), где p(x) — является достаточно простой и имеет те же особенности что и F(x), а f(x) — гладкая функция. Тогда

. (3)

Здесь функция p(x) называется весовой функцией (или весом). При построении численных методов вычисления интеграла (3), весовая функция считается фиксированной. В то же время f(x) может быть произвольной достаточно гладкой.

Примерами весовых функций могут служить постоянный вес p(x)=1, весовые функции Якоби , Лагера , Эрмита , соответствующие интегралам вида

, , ,

, .

Методы приближенного вычисления интегралов, рассмотренные нами ранее, применимы и к задаче вычисления интеграла с весом.

Пусть — интерполяционные многочлены на i-ом частичном отрезке . Приближенная замена интеграла (3) суммой

(4)

приводит к квадратурной формуле интерполяционного типа.

Пример. Выведем аналог формулы прямоугольников с постоянным шагом для вычисления интеграла

. (5)

Решение. Заменяя функцию f(x) на элементарном отрезке постоянной , , и учитывая, что

,

получим следующую квадратурную формулу

(6)

Пример. Вычислить .

Решение. Для вычисления данного интеграла применим формулу (6), которая в рассматриваемом случае примет вид

.

Полученные результаты приведены в таблице:

h
0.200 0.100 0.050 0.025	1.686276 1.688958 1.689521 1.689642	3.4*10-3 7.2*10-4 1.6*10-4 3.5*10-5

Для вычисления интегралов (3) применяют и квадратурные формулы Гаусса

,

точные для многочленов наиболее высокой степени. Они строятся аналогично тому, как это было сделано в случае постоянного веса p(x)=1.

4. Формула Эрмита.

Для вычисления интегралов вида

,

т.е. в случае , a = -1, b = 1, используют квадратурную формулу

,

называемую формулой Эрмита. Узлами этой формулы являются нули многочлена Чебышева T_n(x), т.е. числа , i =1, 2, …, n.

5. Метод Канторовича выделения особенностей.

Идея метода состоит в том, что из подынтегральной функции F(x) выделяют некоторую функцию g(x), имеющую те же особенности, что и F(x), элементарно интегрируемую на [a, b] и такую, чтобы разность f(x)-g(x) имела нужное число производных. Запишем интеграл в виде

; (7)

Здесь первый интеграл берется непосредственно, а второй вычисляется по квадратурным формулам.

Подбор функции g(x) производится в зависимости от конкретного случая. Выведем правило построения такой функции для одного часто встречающегося класса интегралов. Пусть F(x) имеет вид

(8)

где , а f(x) непрерывна и имеет достаточное число непрерывных производных на [a; b].

Функцию f(x) представим по формулам Тейлора в виде:

(9)

Тогда

.

Первое слагаемое в формуле (10) есть степенная функция, которая интегрируется непосредственно. Второе слагаемое в формуле (10) обращается в нуль при x = 0 вместе со своими производными до порядка k включительно. Произведение этого выражения на множитель будет функцией непрерывной вместе с производными до порядка k-1. Поэтому для вычисления интеграла от этой функции можно применить одну из квадратурных формул.

6. Аддитивное выделение особенности.

Иногда подынтегральную функцию удается представить в виде суммы

,

где функция содержит особенность, но интегрируется аналитически, а функция является достаточно гладкой. Тогда интеграл от функции f(x) представляют в виде суммы двух интегралов

Здесь вычисляется аналитически, а вычисляется численно с помощью той или иной квадратурной формулы.

Пример. Вычислить интеграл

.

Решение. Представим интеграл в виде

Интеграл можно вычислить по формуле прямоугольников: В результате приходим к формуле

, , i = 1, 2, …, n-1.

Найденные по ней приближенные значения интеграла приведем в таблице:

h
0.200 0.100 0.050 0.025	1.687874 1.689227 1.689565 1.689649	1.8*10-3 4.5*10-4 1.1*10-4 2.8*10-5

7. Интегрирование сильно осциллирующих функций.

В задачах радиотехники часто встречается проблема вычисления интегралов вида

(11)

Здесь , f(x) — некоторая достаточно гладкая функция, а i – мнимая единица.

Функции и являются быстро меняющимися и имеют на [a; b] порядка нулей. Если попытаться вычислить интеграл (11) с помощью стандартных квадратурных формул, то для облегчения приемлемой точности на каждый полупериод колебаний подынтегральной функции потребуется поместить хотя бы несколько точек (например, порядка десяти точек). Так как на отрезок [a; b] приходится примерно точек “полупериодов”, то необходимо, по меньшей мере, порядка узлов интегрирования. Следовательно, стандартный подход к вычислению интегралов вида (11) потребует слишком больших затрат машинного времени.

Для уменьшения объема вычислений в равенстве (11) полезно рассматривать функцию как весовую. Тогда кусочно-полиномиальная интерполяция функции f(x) приводит к квадратурным формулам интерполяционного типа, которые принято называть формулами Филона.

Построим, например, аналог формулы средних прямоугольников. Для этого при вычислении интеграла по отдельному интервалу сетки заменим f(x) ее значением в середине интервала:

, , ;

проинтегрируем по интервалу и сложим интегралы по всем интервалам. После несложных выкладок получим квадратурную формулу

(12)

,

и ее погрешность

Теперь построим аналог формулы трапеций. Для этого при вычислении интеграла по отдельному интервалу сетки заменим f(x) интерполяционным многочленом первой степени

, ,

проинтегрируем по интервалу и сложим интегралы по всем интервалам. В результате получим квадратурную формулу

где ,

, ; .