Геометрический способ.

Геометрический способ может быть применен только для двумерных задач, т.е. при n = 2. В этом случае область допустимых значений – выпуклый многоугольник на плоскости (х₁, х₂), являющийся результатом пересечения полуплоскостей, каждая из которых – решение соответствующего неравенства системы ограничений.

Целевая функция позволяет провести семейство параллельных прямых - так называемых линий уровня, отвечающих определенному значению линейной формы (т.е. целевой функции). При этом, смещение прямой по направлению нормального вектора, координаты которого равны коэффициентам при соответствующих переменных в целевой функции приводит к увеличению значения целевой функции; в противоположном направлении – к уменьшению.

Непустое множество задачи ЛП образует выпуклый многогранник. Каждая вершина многогранника представляет собой опорный план. В одной из вершин многоугольника (т.е. для одного из опорных планов значения целевой функции является максимальным (при условии, что функция ограничивает сверху на множестве планов.

Если максимальное значение функция принимает более чем в одной вершине, то это же значение она принимает в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией данных вершин. Другими словами, оптимальный план реализуется на границе ОДР или в одном из опорных планов.

Нахождение минимального значения F отличается от нахождения максимального ее значения при тех же ограничениях лишь тем, что ЛУ передвигается не в направлении С, а в противоположном.

Отметим свойства целевой функции и ограничений

1. Целевую функцию можно умножать на любую положительную const.

2. К целевой функции можно добавлять любую const.

3. С ограничениями можно как с системой равенств или неравенств проводить эквивалентные алгебраические преобразования.

Пример: Найти решение задачи ЛП при следующих данных:

F = 2 X ₁+ 3 X ₂ ® max при

4 X₁ + 3 X₂ £ 12 (1)

X ₁ - X ₂ ³ 1 (2)

- X ₁ + 6 X ₂ £ 12 (3)

X ₁, X ₂ ³ 0 (4)

Область допустимых решений задачи (ОДР), или множество планов задачи представляет собой многоугольник, ограниченный прямыми – геометрическим выражением уравнений, преобразованных из неравенств (1)-(3). Поочередно приравнивая в уравнениях (1)-(3) Х ₁ и Х ₂ к нулю, а также используя условие (4), строим прямые, определяем полуплоскости, соответствующие каждому ограничению задачи и получаем многоугольник ABCD (см. рис.1). Каждая вершина многоугольника представляет собой опорный план.

Примечание: чтобы правильно определить допустимую полуплоскость, удобно ориентироваться по знаку при переменной X₂. Если это минус, а в неравенстве знак £, то допустимые решения будут лежать ниже прямой, если знак ³, полуплоскость строится вверх от прямой. Если знак при второй переменной плюс, то, соответственно, плоскости строятся в противоположных направлениях).

В одной из вершин многоугольника (т.е. в одном из опорных планов) значение целевой функции является максимальным (при условии, что функция ограничена сверху на множестве планов). Пункты 1-3 выполнены. Строим направляющий вектор. Начало его совпадает с началом координат, а конец имеет координаты (С₁; С ₂), соответствующие коэффициентам в целевой функции. В нашем случае (2; 3).

Рис. 1

Вектор (2; 3) показывает направление роста целевой функции. Для определения вершины многоугольника построим линию уровня F =2 X ₁+ 3 X ₂ = h, проходящую через многоугольник решений. Вначале положим h = 6. Нетрудно видеть, что линия уровня перпендикулярна направляющему вектору. Задав новое значение h, больше предыдущего, мы передвигаем линию уровня по направлению вектора . Точка, в которой линия уровня покидает ОДР (в нашем случае это точка С) и будет решением задачи, т.е. оптимальным планом. Однако, определив точку на чертеже, необходимо определить точное значение ее координат, т.е. переменных X₁ и X₂. Поскольку точка С находится на пересечении прямых, соответствующих уравнениям (1) и (3), решая совместно эти уравнения, получим значения X₁ = 1, 33 и X₂ = 2, 22.

Решение записывается в виде X(1, 33; 2, 22).

Подставив найденные значения переменных в выражение для целевой функции, вычисляем ее максимальное значение: F = 9, 33.