Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод моментов.
Пусть имеется выборка из генеральной совокупности с теоретической функцией распределения , принадлежащей k -параметрическому семейству с неизвестными параметрами , которые нужно оценить. Поскольку нам известен вид теоретической функции распределения, мы можем вычислить первые k теоретических моментов. Эти моменты, разумеется, будут зависеть от k неизвестных параметров : , , ……………………. . Метод моментов заключается в следующем. Т.к. эмпирические моменты являются состоятельными оценками теоретических моментов, то записанной системе равенств при большом объеме выборки теоретические моменты можно заменить на эмпирические . В полученной системе уравнений в роли неизвестных выступают параметры . При решении этой системы уравнений будут получены оценки неизвестных параметров : , ……………………. . Замечание 1. Метод моментов был изложен с использованием начальных моментов. Все вышесказанное имеет место и для центральных моментов. Метод моментов впервые предложил П.Л. Чебышев [37, с.253]. Развитием метода занимались ученики Чебышева и английский математик, биолог, философ-позитивист Карл Пирсон (1857-1936) [18, с.394]. Кратко суть метода может быть изложена словами: для определения точечных оценок неизвестных параметров заданного распределения необходимо прировнять теоретические моменты рассматриваемого распределения к соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Пример 1. Страховая компания провела анализ дневных суммарных выплат по однотипным медицинским договорам страхования. Результаты анализа (в тыс. грн.) за 100 рабочих дней сведены в табл.1:
Табл.1. Статистические данные к примеру 1
Предполагая, что дневные суммарные выплаты распределены по нормальному закону . оценить методом моментов параметры и . Решение. Вычислим среднее значение выборки, причем за представителя каждого интервала (разряда) примем его середину: Выборочные дисперсия и стандартное отклонение, соответственно, равны: , . Согласно методу моментов, нужно приравнять теоретические моменты рассматриваемого распределения к соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Следовательно, выберем параметры и нормального закона так, чтобы выполнялись условия: , . Поэтому Подставляя оценки параметров, полученные методом моментов, в теоретическую плотность распределения имеем Вычислим значения в середине каждого из интервалов:
Табл.2.Расчетная таблица к примеру 1
Как видно из табл.2 значения плотности распределения в серединах интервалов мало отличается от частости. Построим на рис.1 гистограмму и, по вычисленным значениям, кривую плотности. Рис. 1. Гистограмма частостей и кривая теоретической плотности распределения
Судя по рис.1, теоретическая кривая плотности распределения , в основном, сохраняет особенности статистического распределения. Пример 1 выполнен. Замечание 2. Оценки, полученные методом моментов, обычно имеют сравнительную эффективность существенно меньше единицы и даже являются смещенными. Иногда, из-за простоты их нахождения, они используются в качестве начального приближения для нахождения более эффективных оценок.
|