Лекция №2. Дифференциальные уравнения равновесия

Дифференциальные уравнения равновесия

жидкости (ур. Эймра). Поверхности равного

давления. Основные уравнения и закон

гидростатики.

Выделим в жидкости, находящийся в равновесии, элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz и центром Н. Рассматриваемый объем находящийся в равновесии под воздействием:

- поверхностных сил давления, направленных внутрь параллелепипеда нормально к его граням;

- объемных (массовых) сил, действующих на каждую частицу жидкости.

Р – гидростатическое давление в т. Н. Учитывая непрерывность изменения давления в жидкой среде и пренебрегая величинами бесконечно малыми, стремящихся к нулю при уменьшении выделенного объема до размеров точки, определим среднее гидростатическое давление на соответствующих гранях; изменение величин давления, приходящихся на единицы длинны ММ представим частной производной σ P/σ x.

На грани АВСD действует давление: P - σ P/σ x ½ dx; на грани EKNG: P+ σ P/σ x ½ dx.

Сила давления определяется соответственно как произведение давления в центре тяжести на площадь действия этого давления.

Массовая сила dF=dm ^. j, проекция этой силы по координатным осям F_x, F_y, F_z; dm=ρ dx dy dz.

Составим уравнение равновесия в направлении оси ОХ, из которого следует, что проекция всех сил, действующих на выделенный объем, в направлении любой оси (например ОХ) равна 0:

(P - σ P/σ x ½ dx) dy dz – (P+ σ P/σ x ½ dx) dy dz + F_xρ dx dy dz = 0

Разделим почленно данное уравнения (т.е. приведем каждый члем к единице массы) на dm = ρ dx dy dz и получим:

F_x – 1/ ρ σ P/σ x = 0

1/ρ σ P/σ x – единичная поверхностная сила, σ P/σ x – градиент изменения давления.

Очевидно, что для любого избранного направления:

F_н – 1/ρ σ P/σ x = 0

Можем записать систему уравнений, которая называется общим условием равновесия жидкости:

F_x – 1/ρ σ P/σ x = 0 dx

F_y – 1/ρ σ P/σ x = 0 dy

F_z – 1/ρ σ P/σ x = 0 dz

Получена эта система в1755 году членом Российской академии наук Леонардом Эймром.

Умножим полученые уравнения на dx dy dz и сложив их получим:

F_x dx + F_y dy + F_z dz = 1/ρ (σ P/σ x dx + σ P/σ x dy + σ P/σ x dz)

Т.к. Р = φ (х, у, z), то выражение в скобках справа представляет собой полный дифференциал давления:

dP = ρ (F_x dx + F_y dy + F_z dz)

Это уравнение называют дифференциальным уравнением равновесия жидкости.

Физический смысл этого уравнения: поверхностные силы равны массовым.

Поверхность равного давления.

Поверхностью равного давления в жидкости называется поверхность, все точки которой испытывают равное давление.

Уравнение такой поверхности мы можем получить из основного уравнения равновесия жидкости, полагая P=const или dP = 0

Поверхность уровня на границе жидкой и газообразной сред называется свободной поверхностью.

Положение свободной поверхности зависит от сил, действующих на жидкость.

Свободная поверхность покоящийся жидкости

Из всех объемных сил на жидкость действует только вес, тогда F_x = 0; F_y = 0; F_z = 0

Дифференциальное уравнение будет представлено в виде:

dp = - ρ gdz или P = - ρ gz + c

Из этого уравнения видно, что поверхность равного давления, на которую действует только вес, будет определяться равенством: z = const, т.е. поверхность будет горизонтальной. Все поверхности равного давления в покоящейся жидкости параллельны друг другу.

Итак: поверхность уровня – горизонтальная плоскость.

Следовательно, величина гидростатического давления зависит только от глубины точки погружения и не зависят от формы сосуда.

Основное уравнение и закон гидростатики

Рассмотрим покоящуюся жидкость в замкнутом цилиндрическом сосуде. На нее действует сила тяжести и внешнее давление на свободной поверхности. Плоскость xoy – плоскость сравнения.

dP = ρ (F_xdx + F_ydy + F_zdz) из этого уравнения мы получим dp = - ρ gdz, а затем P = - ρ gz + c, где с постоянная интегрирования. Найдем ее, полагая, что P = P₀ и Z = Z₀:

с = P₀ + ρ gZ₀

P = - ρ gz + P₀ + ρ gZ₀

P = P₀ + ρ gZ₀ - ρ gz + P₀

Z + P/ρ g = Z₀ + P₀/ρ g – основной закон гидростатики.

Разность (Z₀ - Z) представляет собой глубину погружения точки А – h:

P = P₀ + ρ gh – основное уравнение гидростатики

Величина гидростатического давления внутри жидкости P равна внешнему давлению P₀ плюс давление от веса столба жидкости высотой h и площадью равной единице.

Анализируя полученные уравнения, можно записать:

Внешнее единичное давление, приложенное к свободной поверхности жидкости, находящейся в замкнутом сосуде в равновесии, передается всем точкам этой жидкости без изменения. Это положение носит название Закон Паскаля.

- случай открытого сосуда

P_A = P_a + ρ gh

P_A > P_a на величину ρ gh, эту величину называют избыточным давлением: ρ gh = P_изб.

Избыточное давление показывает превышение абсолютного давления над атмосферным. В случае открытого сосуда оно равно весовому ρ gh.

- случай замкнутого сосуда

P_A = P₀ + ρ gh

P_изб. = P₀ + ρ gh - P_a

Избыточное давление в точке А равно разности абсолютного давления в точке А и атмосферного: P_изб. = P_A - P_a

Виды давления

Можно из вышесказанного сделать вывод, что существуют следующие виды давления: атмосферное, абсолютное, избыточное (манометрическое) и вакуумметрическое. Давление отсчитываемое от условно выбранной горизонтальной плоскости называется абсолютным Р_абс

Избыточное давление положительное, если оно над атмосферным. Это давление называют манометрическим Р_м Если избыточное давление показывает недостаток абсолютного до атмосферного, такое давление отрицательно, его называют вакуумметрическим Р_в

Р_м = Р_абс - Р_атм

Р_в = Р_атм - Р_абс

Вакуум показывает недостаток абсолютного давления до атмосферного.

Эпюра давления.

Графическое изображение изменения давления по глубине жидкости называют эпюрой давления.

Р = Р₀ + ρ gh

Проанализируем это уравнение, оно является уравнением прямой линии со свободным членом вида: y = kx + в, где «в» соответствует давлению Р₀ на поверхности жидкости, а угловому коэффициенту «k» - ρ g

Форма эпюры зависит от рода жидкости, т.е. угловой коэффициент изменяется.

Приборы для измерения давления

1. Простейшим представителем приборов жидкостного типа является пьезометр, измеряющий давление высотой столба жидкости. Он представляет собой трубку диаметром не менее 5 мм, открытую с одного конца, а вторым присоединяется к сосуду, в котором измеряется давление.

P_A = P_a + ρ gh

P_A = P₀ + ρ gh

P_a + ρ gh = P₀ + ρ gh

hp = Р_атм - Р_абс / ρ g = P_изб / ρ g

Пьезометры измеряют давление до 4мм водного столба.

2. Ртутный манометр представляет собой U образную стеклянную трубку, изогнутое колено которой заполняется ртутью. Под действием давления P₀ в сосуде уровень ртути в левом колене манометра понижается, а в правом повышается.

При этом гидростатическое давление в точке А:

P_A = P₀ + ρ gh = Р_атм + ρ _рт gh_рт

Ртутный манометр измеряет давление до 30 – 40 кМа.

3. Механические манометры. Они используются для измерения больших давлений. Основная деталь такого манометра латунная трубка согнутая по кругу. Сечение трубки имеет форму овала или эллипса. Верхний свободный конец запаян, а нижний присоединен к точке, где измеряется давление. Верхний конец соединен со стрелкой, перемещающейся по шкале.

4. Вакууметры служат для измерения величины разряжения. Принцип действия один и тот же с вышеописанными.

Пьезометрическая высота.

Пьезометрическая высота характеризует давление в линейных единицах. Пьезометрическая высота может отвечать абсолютному и избыточному давлениям.

Величина h_A = Р_абс / ρ g; а h_P = P_изб / ρ g, где h_A – высота абсолютного давления, а h_P – высота избыточного давления. h_P – пьезометрическая высота, а плоскость, на которой давление равно атмосферному, называют пьезометрической.