Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Биномиальное распределение






Среди законов распределения ДСВ наиболее распространенным является биномиальное распределение или распределение Бернулли, с которым мы уже встречались применительно к случайным событиям.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q =1-p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X - число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза,..., либо n раз. Таким образом, возможные значения X таковы: х1=0, х2=1, х3=2, …, хn+1 = п. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли: (3.1)

Формула (3.1) является аналитическим выражением биномиального закона распределения Бернулли.

Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства (3.1) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

(р+q)n = pn∙ + pn-1∙ q+…+ pk∙ qn-k + … + ∙ qn (3.2)

Таким образом, первый член разложения рn определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член npn-1q определяет вероятность наступления события n-1 раз; …; последний член qn определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон распределения в виде таблицы:

X п п- 1 k 0
Р рп npn-lq ... pk ∙ qn-k qn

Пример 3.1. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X — числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты р=1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q=1-p=1/2.

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. То есть, возможные значения Хтаковы: х1=2; х 2= 1, х3=0.

Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Р2 (2) = p2 = (l/2)2 = 0, 25, Р2 (1) = p∙ q = 2∙ (1/2) (1/2) = 0, 5,

Р2 (0) = q2 = (1/2)2 = 0, 25.

Напишем искомый закон распределения:

Контроль: 0, 25+0, 5+0, 25=1.   Х      
Р 0, 25 0, 5 0, 25

Домашнее задание: ДР-3.1 (Письменный, с. 63, № 1)






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.