Ортогональных координатах

К ранее выведенным уравнениям (Б. 19) и (Б. 20) нам необхо­димо подключить члены отражающие, турбулентные потоки коли­чества движения и тепла. Поэтому прежде всего остановимся на выводе выражений для тензора скоростей деформаций, где ско­рости понимаются как осредненные. Для этого рассмотрим инва­риант δ s² (δ s — элемент дуги в пространстве).

В любых ортогональных координатах

Продифференцировав последнее соотношение по времени,

Получим

Поскольку , то справедливы следующие равенства:

, .

Учитывая последние выражения, будем иметь

.

Или, ввиду того что , получим

(Б.27)

В прямоугольных декартовых координатах H_i=1, поэтому , и, как легко видеть,

Сравнивая последнее выражение с (2.13), мы убеждаемся, что множителями при элементарных площадках являются со­ставляющие тензора скоростей деформаций. Естественно, что это же имеет место и в любых других системах координат, т. е. можно записать

. (Б.28)

Из (Б.28), (Б.27), опуская элементарные промежуточные выкладки, находим

; (Б.29)

. (Б.30)

Все прочие выражения получаются из предыдущих циклической перестановкой чисел 1, 2, 3. Для случая цилиндрических коорди­нат из (Б. 29) и (Б. 30) следуют следующие выражения для со­ставляющих тензора турбулентных напряжений (17.13):

,

Для сферических координат:

.

,

Дивергенция тензора турбулентных напряжений может быть записана как:

(Б.33)

Таким образом, правая часть уравнения (Б.19) измениться за счет того, что вместо членов молекулярного трения, входящих в уравнение с множителем μ, мы должны писать соотношения (Б.33). Соответственно дивергенция тензора в цилиндрических координатах имеет вид:

(Б.34)

В сферических:

(Б.35)

Добавляя к правой части (Б.19), (Б. 22), (Б. 25) турбулент­ные члены соответственно (Б.ЗЗ), (Б. 34), (Б. 35) и опуская моле­кулярные, мы получим уравнения движения турбулентного по­тока.

Что касается уравнения неразрывности, то его вид (Б. 18) в случае пренебрежения пульсациями плотности при осреднении не меняется. При этом под скоростью и плотностью следует пони­мать их осредненные величины.

В уравнении теплопроводности дивергенцию турбулентного по­тока тепла в ортогональных координатах, согласно. (Б.12), можно записать в виде:

(Б.36)

Для цилиндрических координат:

Б.37

Для сферических координат:

В (Б. 20), (Б. 23), (Б. 26) также прибавляем к правой части соответственно выражения (Б. 36) либо (Б. 37) или (Б. 38) и, опуская молекулярный поток тепла и члены с диссипацией, полу­чаем турбулентные уравнения притока тепла.