Запись дифференциальных операторов в ортогональных координатах

Рассмотрим теперь некоторые дифференциальные операторы в ортогональных криволинейных координатах.

1. Градиент скалярной величины. Согласно определению гра­диента скалярной величины φ его проекции на координатные ли­нии

2. Дивергенция потока. По своему физическому смыслу дивер­генция — это разность потоков свойства α, переносимого жидкостью, втекающих в единичный объем и вытекающих из него за единицу времени. Рассмотрим элементарный объем dτ (рис. Б.1) Через площадку dσ =ds₂ds₃ втекает — α υ ₁ds₂ds₃, а вытекает . Знак минус в первом потоке появляется за счет того, что он направлен против внешней нормали). Их сумма или, с учетом (Б.4), .Аналогично, для площадок ds₁ds₃ и ds₁ds₂, соответственно: и . Общая сумма, отнесенная к объему (Б. 10), дает нам дивергенцию

(Б.12)

3.Оператор Лапласа скалярной функции φ. На основании фор­мулы векторного анализа ∆ φ =divgrad φ, учитывая (Б.11) и (Б.12) можно записать, что

(Б.13)

Здесь роль α υ _i играют компоненты градиента

4. Вихрь (ротор) скорости (). На основании формулы Стокса используя теорему о среднем, можно записать, что .

Для элементарной координатной поверхности (рис. Б. 2) dσ ₃ последнее соотношение

Рис. Б.2

можно переписать в виде

Знак осреднения опущен, ибо в пределе мы имеем точное равен­ство.

При указанном на рисунке направлении обхода и скорости это равенство можно развернуть и представить в виде

Имея в виду, что ds_i=H_idq_i и , получаем

Аналогично могут быть получены Ω ₁ и Ω _2, так что, обобщая, можно записать

(Б.14)

где i, j, k образует циклическую перестановку чисел 1, 2, 3.

5. Оператор Лапласа для вектора скорости. Для отыскания его выражения следует воспользоваться формулой векторного анализа ∆ =grad div - rot rot . Выведенных выше соотношений вполне достаточно для того, чтобы найти проекции ∆ на оси координат. Опуская элементарные, но весьма длинные вкладки сразу запишем

(Б.15)

6. Конвективная производная скорости. В векторном анализе выводиться формула

, (а)

или в координатной форме

(б)

Поскольку скалярное произведение должно быть неизменно в любой системе координат, то, например, при i=1 можно записать

. (в)

Соответственно при i=1 два последних слагаемых в соотношении (б) будут ₃- ._.Раскрывая и на основании (Б.14), получим Складывая последнее выражение с (в), будем иметь

Аналогично могут быть получены формулы для i=2, 3. В общем виде выражение для конвективной производной можно представить как

. (Б.16)

7. Конвективная производная для скалярной функции φ. Как известно она может быть записана в виде скалярного произведения

( gradφ) = . (Б.17)