Течение вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса. Пограничный слой.

Различая движения вязких жидкостей по характерным для этих движений рейнольдовским числам, можно выделить два крайних, обладающих существенными особенностями случая: движение с малыми рейнольдовскими числами и движения с большими рейнольдовскими числами.

Течениям идеальной жидкости отвечает число Re = ∞. Если числа Рейнольдса велики (Re > > 1), то можно ожидать, что те­чения вязкой жидкости близки к течениям идеальной. Это тем более вероятно, что решение задачи о потенциальном течении идеальной жидкости является точным решением уравнений вяз­кой жидкости. Однако, как было показано ранее, потенциаль­ные решения не обеспечивают выполнения граничных условий на поверхности обтекаемого тела. Поэтому, если рассматривать обтекание некоторого тела, то следует ожидать, что течения вязкой жидкости при больших числах Re будут близки к тече­ниям идеальной жидкости всюду, за исключением тонкого слоя

рис.7

около границы. В этом тонком слое влияние вязкости суще­ственно сказывается на распределении скорости. Гипотезу о су­ществовании такого тонкого переходного слоя подтверждают и эксперименты. Этот тонкий слой принято называть пограничным.

Возникает вопрос, как определить его толщину? Конечно, толщина пограничного слоя — понятие очень условное. Практически толщиной пограничного слоя называют такое рас­стояние от поверхности тела, на котором касательные состав­ляющие скорости вязкого и идеального течений жидкости от­личаются на пренебрежимо малую величину. Таким образом, область потока, обтекающего тело, можно разделить на две — область пограничного слоя (I) и область вне его (II) (рис. 7). В пограничном слое рассматривают дви­жение вязкой жидкости в предположении, что отношение ( — характерный размер). Последнее соотношение позволяет значительно упростить уравнения движения вязкой жидкости. В области II, вне пограничного слоя, принимают, что течение совпадает с потенциальным течением идеальной жидкости.

Схему описания пограничного слоя предложил в 1904 г. Прандтль.

Будем считать, что Re > > 1. Упростим уравнения движения вязкой жидкости применительно к пограничному слою, поль­зуясь тем, что . Течение жидкости предполагаем лами­нарным.

Рассмотрим задачу об обтекании некоторого контура пло­ским потоком вязкой жидкости. Положение точки в погранич­ном слое можно определить, задавая длину х дуги, отсчитывае­мую от точки разветвления потока, и расстояние у по нормали от контура. Так как толщина пограничного слоя весьма мала по сравнению с радиусом кривизны, то, пренебрегая кривизной контура, можно в пределах слоя рассматривать х и у как пря­моугольные декартовы координаты. Если внешних сил нет, то движение жидкости описывается системой уравнений

, (1)

, (2)

. (3)

Будем рассматривать течение внутри слоя , где — толщина пограничного слоя. Предположим

. (4)

Составляющая v_x на внешней границе пограничного слоя имеет порядок V, где V — скорость на бесконечности. Предпо­ложим, что это справедливо во всем пограничном слое, т. е..

υ _x = 0(V). (5)

При изменении х от нуля до l скорость меняется на величину порядка V, поэтому

, . (6)

При изменении у от 0 до скорость υ _x меняется от нуля (на стенке) до величины порядка V, поэтому

, . (7)

В силу предположения (4) , поэтому уравнение (1) приобретает вид

. (8)

В силу (5), (6) имеем

.

Порядок величины υ _у можно оценить, используя уравнение неразрывности

, .

Следовательно, .

Если дополнительно предположить, что рассматриваются только такие нестационарные течения, для которых имеет тот же порядок или меньше, то левая часть уравнения имеет порядок .

Прандтль предположил, что в пограничном слое силы инер­ции и силы вязкого трения одного порядка. Принимая это пред­положение, получим, что

или, учитывая (7),

.

Отсюда следует, что

, . (9)

Относительная толщина пограничного слоя обратно пропорцио­нальна (так называемый первый результат теории погра­ничного слоя). Чем больше число Re, тем тоньше пограничный слой.

Для оценки члена используем следующие сообра­жения. На внешней границе пограничного слоя при устано­вившемся течении справедлив интеграл Бернулли

.

Отсюда

. (10)

Этот результат мы имеем и из уравнения (8).

Рассмотрим теперь уравнение (2). Имеем

, ,

, . (11)

Очевидно, в слагаемое можно отбросить по сравнению с . Воспользовавшись оценкой (9), получим

. (12)

Из (11), (12) и уравнения (2) следует, что

. (13)

Из сравнения (13) с (10) следует, что в пограничном слое

.

Таким образом, давление по оси у меняется существенно медленнее, чем по оси х, поэтому уравнение (2) можно заме­нить уравнением

, . (14)

Давление поперек пограничного слоя не меняется.

Система уравнений вязкой жидкости содержит еще уравнение

неразрывности. Оно остается без изменений.

Уравнения (8), (3), (14) образуют систему уравнений пограничного слоя

,

,

. (15)

Последнее из уравнений (15) означает, что давление через по­граничный слой по нормали передается без изменения. Так как вне пограничного слоя жидкость можно считать идеальной, дав­ление может быть взято из решения уравнений идеальной жид­кости. Но так как пограничный слой тонок, то можно считать, что во всем пограничном слое зависимость давления р от х и t такая же, как в идеальной жидкости. Тогда два первых уравне­ния (15) можно рассматривать как систему уравнений погра­ничного слоя для функций υ _x и υ _y, в которых известная функция, найденная из решения задачи обтекания тела пото­ком идеальной жидкости.

Если течение установившееся, то вне пограничного слоя (идеальная жидкость) справедлив интеграл Бернулли

, . (16)

Если и = U — скорость на внешней границе пограничного слоя, то в силу

того, что не изменяется поперек пограничного слоя (не зависит от y),

уравнения пограничного слоя с учетом (16) можно записать в следующем виде:

,

. (17)

Так как, в частности, при , то за

функцию U может быть взято решение уравнений идеальной жидкости при

у = 0. При этом U = U_x и зависит только от х. Искомые функции υ _x, υ _y нужно находить как решение уравне­ний (17) при следующих граничных условиях:

1) на теле при 0 ≤ x ≤ (условия прилипания)

, (18)

2) на внешней границе пограничного слоя

υ _x = (1-ε) U (х), (19)

где ε — заданная малая величина.

Фактически ввиду неопределенности границы пограничного слоя ( неизвестна) соотношение (19) не является гранич­ным условием, так как в нем υ _x = υ _x {х, (х)), где неиз­вестна.

Поэтому граничные условия несколько видоизменяют. Во-первых, решения системы (17) можно найти только при за­данном значении υ _x при

х = 0. Во-вторых, условие на границе пограничного слоя заменяют условием при исходя из предположения, что внутри пограничного слоя быстро стремится к предельным значениям при удалении от тела. Таким образом, вместо условий (18), (19) получают условия:

1) при , ,

2) ,

3) . (20)

Имея распределение скоростей в пограничном слое, т.е. найдя решение уравнений (17), удовлетворяющее условиям (20), можно найти внешнюю границу слоя , используя (19):

. (21)

Течение вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Для установивше­гося течения вязкой жидкости существенно значение числа Рей­нольдса, причем при отсутствии массовых сил (g = 0) число Re является единственным параметром, характеризующим с точностью до подобия рассматриваемое течение. Поэтому когда не удается найти точное решение задачи, в общем случае раз­вивают приближенные методы, соответствующие тем или иным предположениям относительно числа Рейнольдса. Такие при­ближенные методы развиты в предположении, что Re > > 1 и Re < < 1.

Рассмотрим течения вязкой жидкости при ма­лых числах Рейнольдса

Re < < 1. Это означает, что к рассматри­ваемому виду относятся медленные движения вязкой жидкости, движения жидкости с большой вязкостью, движения малых тел в сравнительно вязких жидкостях.

Для получения уравнений движения вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса будем исходить из общей системы уравнений Навье — Стокса

div v = 0. (1)

Рассмотрим внешнюю задачу. Пусть характерный раз­мер обтекаемого тела а, а скорость на бесконечности . Введем безразмерные независимые переменные и безразмер­ные искомые функции

, , , , , . (2)

После перехода к новым независимым переменным и новым ис­комым функциям получим

,

. (3)

При этом искомая функция u удовлетворяет на бесконечности

условию u∞ = Re. Модуль искомой величины u = |u| = по

существу является местным (вычисленным в данном месте) чис­лом Рейнольдса. Предположение о малости чисел Рейнольдса означает, что

,

или , , . (4)

Поскольку безразмерная скорость и ее компоненты и_х, и_у, и_z меняются на величины порядка их самих на расстояниях по­рядка единицы (характерного размера), то в этих течениях на­ряду с (4) имеем

. (5)

Из (4) и(5) следует, что произведения вида

являются величинами второго порядка малости. Пренебрегая в уравнении (3) величинами второго порядка малости по срав­нению с величинами первого порядка малости, получим уравне­ния

,

. (6)

Уравнения (6) есть уравнения движения вязкой жидкости при малых числах Re, записанные в безразмерном виде. Если теперь в уравнениях (6) снова вернуться к размерным величинам, то будем иметь систему

,

. (7)

Уравнения (7)—уравнения Стокса для движения вязкой жид­кости при малых числах Re. Иногда их называют уравнениями Стокса для медленных движений. В случае установившихся дви­жений они имеют вид

,

. (8)

Системы (7), (8) отличаются от исходных уравнений (1), в частности, тем, что они линейны, поэтому строить их решение гораздо проще.