Критерии подобия. Числа Рейнольдса, Фруда, Струхаля, Эйлера.

Два течения вязкой жидкости (первое и второе) будем на­зывать подобными, если значения соответственных гидродинами­ческих величин, вычисленные для сходственных пространствен­но-временных точек, отличаются лишь некоторыми постоянными множителями. Эти множители могут быть разными для различ­ных гидродинамических величин (один для скорости, другой для давления).

Пусть имеем два течения около геометрически подобных тел. Пусть они характеризуются величинами

, , , ,

, , , , . (1)

Для каждого из этих движений можем выписать безразмерную систему уравнений

,

(2)

Решения систем (2), если иметь в виду внешние задачи об об­текании тел, должны удовлетворять условиям прилипания на границах S₁ обтекаемых тел (S₁ — поверхность тела с характер­ным размером, равным единице) и условиям на бесконечности

, . (3)

Так как безразмерные искомые величины и отличают­ся от размерных искомых величин постоянными множителями, то для подобия движений достаточно, чтобы в сходственных пространственно-временных точках имели место равенства

, (4)

Так как краевая задача об отыскании величин и ста­вится для одинаковых областей, для которых характерный раз­мер равен единице, при одинаковых условиях на границе обте­каемых тел , для выполнения (4) достаточно, чтобы:

1) уравнения (2) для течения 1 (i = 1) и для течения 2 (i = 2) совпадали;

2) условия на бесконечности были одинаковы, т. е.

, (5)

ибо тогда обе краевые задачи будут тождественны.

Для совпадения уравнений необходимо, чтобы

, (6)

что дает следующее равенство:

, (7)

Условия (5), записанные в размерных величинах, приводят к соотношению

. (8)

Равенства (7) и (8) и являются условиями, достаточными для подобия течений. Как видно, они носят векторный характер. Из этого следует, что для выполнения (7) необходимо, чтобы векторы g₁ и g₂ были параллельны: g₁ || g₂; для выполнения (8)—чтобы были параллельны скорости на бесконечности: . Если считать, что эти условия параллельности вы­полнены, то из (7) и (8) получаем

, (9)

. (10)

Если (9) возвести в квадрат и разделить на (10), то будем иметь

. (11)

Условия (9), (11) эквивалентны условиям (9), (10). Безразмерную величину

называют числом Рейнольдса, безразмерную величину

называют числом Фруда.

Таким образом, два установившихся течения около геомет­рически подобных тел будут подобны, если выполнены следую­щие четыре условия:

1) , 3) ,

2) g₁ || g_2, 4) , (12)

где числа Re и Fr вычисляются по скоростям на бесконечности. Обычно условия 1) и 2) подразумеваются выполненными, и тогда условия подобия записываются в виде

, . (13)

Заметим, что число Re содержит коэффициент . Этот параметр подобия характерен для вязкой жидкости. В идеальной жидко­сти = 0 и Re = ∞. Подобие же по числу Фруда имеет смысл как для вязкой, так и для идеальной жидкости.

Следует отметить следующие безразмерные комплексы («числа подобия»):

- число Струхаля,

- число Эйлера,

- число Рейнольдса,

- число Фруда,

где соответственно время, длина (в частности, координат), скорость, давление и объемные силы.

Среди всех чисел подобия особо выделим составленные только из тех масштабов сравниваемых потоков и физических констант среды, которые заключаются в постановке задачи об определении движения, т.е. наперед заданы. Одинаковость таких чисел подобия обуславливает подобие двух сравниваемых течений, и поэтому сами числа могут быть названы критериями подобия. Критериев подобия на самом деле меньше, чем чисел подобия для соответствующего класса течений, так как не все масштабные величины, введенные при составлении безразмерных уравнений и граничных и начальных условий, на самом деле могут быть заданы наперед. Значения некоторых из них определяются только после того, как будет получено единственное решение данной конкретной задачи.