Интеграл Лагранжа

Сделаем предположения: 1) жидкость идеальна; 2) имеется баротропность

во всем пространстве, занятом жидкостью, т. е. ρ = Ф(р); 3) массовые силы консервативны; 4) движение без­вихревое.

Для безвихревого движения идеальной жидкости уравнение Эйлера в форме Громеки-Лэмба принимает вид

(1)

Так как жидкость баротропна, то может быть введена функция

(2)

(3)

Предположение 3) означает, что

F = -grad V. (4)

Из предположения 4) следует, что

, (5)

Подставляя (3), (4), (5) в (1), получаем

(6)

Из равенства (6) следует, что выражение в скобках на зависит от координат, но может зависеть от времени

(7)

Полученное соотношение носит название интеграла Лагранжа.

Сравним интеграл Лагранжа и интеграл Бернулли. Как мы видели, уравнение Эйлера при соответствующих условиях при­водит к этим интегралам. Интеграл Лагранжа в некотором смысле более общий, чем интеграл Бернулли, так как годится и для неустановившихся движений. Но он менее общий в том смысле, что требует безвихревого движения и полной баротроп­ности (в интеграле Бернулли достаточно баротропности только на линии тока). Область действия этих интегралов разная.