Интеграл Бернулли. Частные случаи интеграла Бернулли

Предположим, что жидкость идеальна, массовые силы кон­сервативны,

движение установившееся, имеет место баротропность на линии тока.

Так как жидкость идеальна, то уравнение движения

. (1)

Так как массовые силы консервативны, то

F = - grad V

и уравнение (1) запишем

. (2)

Предположение о баротропности на линии тока означает, что

ρ = Ф(р, С), (3)

где С постоянна на линии тока

При установившемся движении траектории и линии тока совпадают.

Обозначим через dr(dx, dy, dz) элементарное пере­мещение вдоль линии тока и умножим скалярно все члены (2) на dr

(4)

Так как линия тока является и траекторий и grad V· dr = dV, grad p· dr = dp, перепишем выражение (4) в виде

(5)

Введем функцию P (p, C), имея ввиду (3)

(6)

С учетом (6) равенство (5) можно переписать в виде

(7)

Отсюда

(8)

Равенства (7), (8) имеют место на любой линии тока, но постоянная в правой части (8) может изменяться при переходе от одной линии тока к другой. Равенство (8) называют интегралом Бернулли.

Рассмотрим частные случаи интеграла Бернулли.

1. Однородная несжимаемая жидкость. В этом случае ρ – заданная постоянная и .

Интеграл Бернулли примет вид

. (9)

Если массовые силы — силы тяжести, то V = gz и интеграл Бернулли в этом случае

или (10)

Отдельные слагаемые в (10) имеют размерность длины и называются соответственно:

- скоростной,

z – геометрической,

- пьезометрической высотами.

Равенство (10) позволяет дать такую формулировку интеграла Бернулли: при движении однородной несжимаемой жидкости в поле сил тя­жести сумма скоростной, пьезометрической и геометрической высот постоянна вдоль линии тока.

2. Совершенный газ. В этом случае уравнение состояния есть уравнение

Клапейрона , . Имеет место адиабата Пуассона. Введем новую постоянную .Тогда

, (11)

Вычислив Р(р) и подставив в (8), получим интеграл Бернулли в виде

(12)

Из физики известно, что производная равна квадрату скорости звука. В случае адиабатического процесса . Таким образом

(13)

Эта формула является одной из важных формул газовой ди­намики. В газовой динамике обычно массовые силы не учиты­вают, а постоянную С обозначают через i_o. В этом случае ин­теграл Бернулли принимает вид

(14)

Здесь υ – скорость газа, а – скорость звука в той же точке.

Здесь v — скорость газа, а — скорость звука в той же точке.

Чтобы определить постоянную в правой части (14), доста­точно знать характеристики в какой-либо одной точке линии тока. Из (14) следует, что скорость звука и температура, а с учетом (11), и давление и плотность будут максимальными на линии тока в точке, где скорость равна нулю. Эти величины обычно обозначают через а₀, Т₀, р_о, ρ _о и называют параметрами адиабатически заторможенного газа (параметрами торможе­ния). Величину

называют энтальпией (теплосодержанием).

Соответственно i₀ называют энтальпией торможения.