Интенсивность вихревой трубки

Прежде всего, определим интенсивность вихревой трубки как величину потока вихря, про­ходящего через какое-либо ее сечение, и далее выявим ее основное свойство. Для этого рассмотрим объем τ, заключенный внутри вихревой трубки и ограниченный двумя произвольно выбранными основаниями σ ₁ и σ ₂ (см. рис. 1.28). В соответствии с формулой (1.2.10), можно записать

(1.2.19)

(σ = σ ₁ + σ ₂ + σ ₃, σ ₃ - боковая поверхность). В векторном анализе доказывается равенство s w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> . Если подинтегральная функ­ция непрерывна и дифференцируема, что мы предполагаем, то это означает равенство нулю правой части. Таким образом,

Или, что эквивалентно:

В этом равенстве перед первым интегралом взят знак минус, ибо мы считаем, что поток втекает через σ ₁, т. е. направлен про­тив внешней нормали. Кроме того, , ибо σ ₃, есть по­верхность трубки тока, в си­лу чего . Таким обра­зом приходим к равенству:

(1.2.20)

Рис. 1.28

Оно означает, что интен­сивность вихревой трубки есть величина постоянная. Из (1.2.18) ясно также, что количество вихревых ли­ний, вошедших через одно сечение, равно количеству вошедших через другое. Отсюда следует вывод, что внутри трубки тока вихревые линии не могут ни начинаться, ни заканчиваться, ибо иначе это привело бы к нарушению равенства. (Но они могут замыкаться сами на себя). Поскольку циркуляция по любому контуру, охватывающему вихревую трубку, согласно формуле Стокса , то,

учитывая полученный выше результат , будем иметь

(1.2.21)

Следовательно, циркуляция по любому контуру, охватываю­щему вихревую трубку, равна одной и той же величине. Это означает, например, что если в сосуде с небольшим отверстием жидкость, в силу каких-либо причин, начала вращаться, то при истечении она будет резко закручиваться. (Стенки сосуда можно трактовать как вихревую поверхность).