Поток вектора скорости. Физический смысл

Представим себе, что в поле вектора задана некоторая поверхность σ (рис. 1.14).

Будем полагать, что эта поверхность является ориентированной, т. е. в каждой точке ее задано определенное положительное направление нормали (орт нормали ), причем это направление при перемещении вдоль поверхности меняется непрерывно.

Рис. 1.14.

Таким образом, мы пола­гаем, что задана не только геометрическая форма поверх­ности но и показаны ее «внеш­няя» (та, куда направлены нормали) и «внутренняя» сто­роны. Если поверхность является замкнутой, то приня­то направлять нормали изну­три вовне объема, ограничен­ного поверхностью. Разобьем поверхность на элементарные площадки s w: val=" 28" /> < /w: rPr> < m: t> Пѓ< /m: t> < /m: r> < /m: e> < m: sub> < m: r> < w: rPr> < w: rFonts w: ascii=" Cambria Math" w: h-ansi=" Cambria Math" /> < wx: font wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < w: color w: val=" 000000" /> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < w: lang w: val=" EN-US" /> < /w: rPr> < m: t> i< /m: t> < /m: r> < /m: sub> < /m: sSub> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> и составим произведения вида , где - проекция вектора , взятого в произвольной точке площадки s w: val=" 28" /> < /w: rPr> < m: t> Пѓ< /m: t> < /m: r> < /m: e> < m: sub> < m: r> < w: rPr> < w: rFonts w: ascii=" Cambria Math" w: h-ansi=" Cambria Math" /> < wx: font wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < w: color w: val=" 000000" /> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < w: lang w: val=" EN-US" /> < /w: rPr> < m: t> i< /m: t> < /m: r> < /m: sub> < /m: sSub> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> , на нормаль.Про­суммируем все подобные произведения и найдем предел этой сум­мы при условии, что все s w: val=" 28" /> < /w: rPr> < m: t> Пѓ< /m: t> < /m: r> < /m: e> < m: sub> < m: r> < w: rPr> < w: rFonts w: ascii=" Cambria Math" w: h-ansi=" Cambria Math" /> < wx: font wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < w: color w: val=" 000000" /> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < w: lang w: val=" EN-US" /> < /w: rPr> < m: t> i< /m: t> < /m: r> < /m: sub> < /m: sSub> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> стремятся к нулю, а число их неогра­ниченно возрастает. Этот предел

(1.2.8)

называется потоком вектора через поверхность σ.

По своему смыслу это скалярная величина, численно равная количеству , проходящему через поверхность σ. В частном слу­чае σ может быть замкнута. Тогда дает разность между входящим и выходящим потоками, т. е., в конечном счете, накопление (или наоборот) в объеме τ, стягиваемом поверхностью σ.