Линии тока, траектории. Трубка тока, струя

Пусть задано поле вектора (х, у, z). Выберем произвольную точку А₁, которой соответствует вектор и отложим в направлении этого вектора малый отрезок A₁A₂ (рис. 1.4). Затем из точки A₂ в направлении соответствующего этой точке вектора r w: val=" 000000" /> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < /w: rPr> < m: t> a< /m: t> < /m: r> < /m: e> < m: sub> < m: r> < w: rPr> < w: rFonts w: ascii=" Cambria Math" w: h-ansi=" Cambria Math" /> < wx: font wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < w: color w: val=" 000000" /> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < /w: rPr> < m: t> 2< /m: t> < /m: r> < /m: sub> < /m: sSub> < /m: e> < /m: acc> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> , отложим малый отре­зок A₂A₃, затем из точки A₃ отложим малый отрезок A₃A₄ в на­правлении вектора r w: val=" 000000" /> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < /w: rPr> < m: t> a< /m: t> < /m: r> < /m: e> < m: sub> < m: r> < w: rPr> < w: rFonts w: ascii=" Cambria Math" w: h-ansi=" Cambria Math" /> < wx: font wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < w: color w: val=" 000000" /> < w: sz w: val=" 28" /> < w: sz-cs w: val=" 28" /> < /w: rPr> < m: t> 3< /m: t> < /m: r> < /m: sub> < /m: sSub> < /m: e> < /m: acc> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> , и т. д. В итоге получим ломаную линию A₁A₂A₃A₄... Предельное положение этой ломаной при уменьшении составляющих ее отрез­ков представляет собой кривую, называемую векторной линией данного поля.

Рис. 1.4

Основное свойство векторной линии вытекает из спо­соба ее построения и заключается в следующем: в каждой точке векторной линии вектор поля совпадает по направлению с каса­тельной к этой линии или, иначе, в каждой своей точке векторная линия касается векторов поля, т. е. является огибающей векторов.

Проводя векторные линии через различные точки поля, полу­чаем бесконечное множество векторных линий. Запишем диффе­ренциальные уравнения семейства векторных линий. В соответ­ствии с основным свойством векторной линии вектор элементар­ного перемещения вдоль нее (dх, dу, dz) является коллинеарным с вектором (а_х, а_y, а_z) поля: . Отсюда следует равен­ство:

, (1.1.13)

которое равносильно системе двух дифференциальных уравнений:

, (1.1.14)

Решение этих уравнений дает общий интеграл системы в виде двух равенств: f₁(х, у, z) =С₁ f₂(х, у, z)=С₂, определяющих собой семейство векторных линий. Действительно, каждому из равенств соответствует семейство поверхностей. Пересечение любых двух поверхностей, принадлежащих к разным семействам, дает ту или иную векторную линию.

Линией тока называется векторная линия поля скорости в за­фиксированный момент времени, т. е. линия, касательная в каждой точке которой по направлению совпадает с вектором скорости в данный момент времени. Система дифференциальных уравнений семейства линий тока имеет вид

, (1.1.15)

где t нужно рассматривать как зафиксированный параметр.

Легко видеть, что линии тока не могут пересекаться друг с дру­гом. Система линий тока дает картину движения жидкости в зафик­сированный момент времени, как бы моментальный фотографиче­ский снимок направлений векторов скорости потока. В случае установившегося движения картина линий тока со временем не меняется, поскольку не меняется поле скорости. В случае неустановившегося движения поле скорости в разные моменты времени будет различным и, следовательно, картина ли­ний тока будет непрерывно меняться во времени.

В отличие от линии тока траектория частицы жидкости представляет собой линию, проходимую этой частицей при ее движении.

Траекторией частицы (точки сплошной среды) называется геометрическое место точек пространства, через которые движущаяся частица последовательно проходит во времени.

Если движение задано в переменных Лагранжа, то известны функции x = х (a, b, c, t), y = y (a, b, c, t), z = z (a, b, c, t). Эти уравнения есть параметрическое уравнение траектории той точки жидкой частицы, положение которой в момент времени t = t_о определялось параметрами a, b, c.

Если задача решена в переменных Эйлера, то известны υ _x = υ _x(x, y, z, t), υ _y = υ _y(x, y, z, t), υ _z = υ _z(x, y, z, t). Уравнение траектории следует искать как решение системы дифференциальных уравнений

, , (1.1.16)

Таким образом, если линия тока характеризует направление скорости разных частиц в один и тот же момент времени, то траектория характеризует направление скорости одной и той же частицы в разные моменты времени.

В этих уравнениях независимым переменным является время t, а координаты x, y, z – неизвестные функции времени. Решение получается в виде трех равенств

f₁(x, y, z, t) = C₁, f₂(x, y, z, t) = C₂, f₃(x, y, z, t) = C₃

Исключая из них t, получаем два уравнения, представляющие собой семейства траектории. Это семейство зависит от трех произвольных постоянных.

В общем случае неустановившегося движения траектории частиц жидкости не совпадают с линиями тока, построенными для какого-либо зафиксированного момента времени. (Рис. 1.5)

Рис. 1.5

В частном случае установив­шегося движения траектории частиц совпадают с линиями тока, не меняющимися во времени.

Скорость частицы в каждый момент времени направлена по касательной как к траектории частицы, так и к ли­нии тока, построенной для этого момента времени (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Имея общую каса­тельную, траектория и линия тока являются таким образом, соприкасающимися кривыми, однако кривизна этих линий в точке соприкосновения является, вообще говоря, раз­личной.

Критическая точка – точка потока, в которой вектор скорости равен нулю, т. е. одновременно υ _x = υ _y = υ _z= 0. Критическая точка является особой для системы дифференциальных уравнений линий тока, в ней может нарушаться теорема единственности. Через критическую точку может проходить несколько и даже бесконечно много линий тока.