Элементы тензорного исчисления

Объекты различной физической природы требуют при матема­тическом описании различного числа компонент. Так скалярные величины тина температуры, плотности, давления могут быть пол­ностью охарактеризованы только своими численными значениями. Другие являются лекторами (перемещение, скорость, ускорение, сила, момент силы и т. д.). Для их определения надо указать не только численное значение величины, но и ее направление в про­странстве. Однозначно заданы они могут быть совокупностью трех величин, например проекциями па осп какой-либо координатной системы. Примерами более сложных объектов являются тензор напряжений и тензор скоростей деформаций в жидкости, требую­щие дли своего описания девяти компонент. Свойства анизотроп­ных тел определяются совокупностью 81 величины и т. д.

Удобно с целью унификации назвать скалярные величины тен­зором нулевого ранга (3° - одна компонента), векторные — тензо­ром первого ранга (3¹ — три компоненты}, тензор второго ранга требует 3² величин, четвертого — - З⁴ и т. д. Таким образом, прихо­дим к понятию тензора п-го ранга, имеющего 3ⁿ компонент, и будем с этих позиций рассматривать операции над конкретными физическими объектами.

Примером возникновения понятия тензоров может служить на­пряженное состояние в жидкости. Напряжение есть сила внутрен­него взаимодействия частиц жидкости, отнесенная к единице пло­щади. Ее векторное описание в принципе невозможно, ибо помимо величины и направления в пространстве должна быть также известна ориентация площадки, к которой она приложена. Чтобы избавиться от последнего ограничения, напряжение в точке сле­дует выразить через три величины, приложенные к площадкам строго фиксированным в пространстве. Вкачестве последних удобно выбрать координатные поверхности пли плоскости в случае декартовых координат. Тогда сила, приложенная к каждой из этих поверхностей, является уже вектором и может быть задана тремя компонентами, а всего их, естественно, будет девять.

Напряжение, как мы видели, записывается в виде матрицы (Р_ij):

. (0.7)

Отметим, что для тензоров вообще удобна матричная запись. При этом скалярная величина запишется просто (а).

Если - вектор, то будем иметь матрицу-столбец

. (0.8)

Для тензора второго ранга (a _ij) (i, j — 1, 2, 3) матрица имеет

вид

(0.9)

Суммой (разностью) тензоров является тензор, компоненты ко­торого представляют собой сумму (разность) компонент слагае­мых. Для тензора второго ранга, например, имеем

c_ij= a _ij+b _ij

Ясно, что складывать (вычитать) можно лишь тензора одного ранга и в результате получаем тензор того же ранга. По сути дела речь идет о сложении или вычитании двух аналогичного вида матриц.

Умножение тензора на скалярную величину α сводится к умно­жению на нее всех его компонент, т. е. α (a _ij) = (α a_ij).

Внешним произведением тензоров называется новый тензор, ранг которого равен сумме рангов сомножителей. Его компоненты представляют собой всевозможные комбинации произведений ком­понент сомножителей. Пример произведения тензоров первого ранга дает диада ( - скорость)

. (0.10)

В итоге получаем тензор второго ранга. Аналогично при умножении тензоров второго ранга a_ij, b_km получаем тензор четвертого ранга aijkm =a_ijb_km.

Существует тензор, называемый единичным, при умножении на который каждый тензор 2-го ранга переходит сам в себя. Он обозначается U, а его компоненты δ _ij,, причем δ _ij=1, если i=j и δ _ij=0, если i≠ j

Таким образом,

. (0.11)

Легко удостовериться, что

(0.12)

Тензор может быть симметричным или антисимметричным по паре индексов, если при их взаимной перестановке его компоненты или не меняются (симметричный) или изменяют свой знак на про­тивоположный (антисимметричный).

Поэтому, если S_ij симметричный тензор, то

S_ij = S_ji

Легко убедиться, что это эквивалентно равенству компонент, расположенных симметрично относительно главной диагонали, так что справедливо следующее:

(0.13)

Следовательно, у симметричного тензора имеется лишь шесть не­зависимых компонент.

Для антисимметричного тензора A_ij должно выполняться усло­вие

A_ij = -A_ji.

Ясно, что все диагональные элементы антисимметричного тен­зора равны нулю, при i = j имеем A_ii = -A_ii, т, е. величина равна себе самой с обратным знаком, что означает А_ii = 0. Матрица для антисимметричного тензора имеет вид

(0.14)

В этом случае имеется три независимых компоненты.

Любой тензор второго ранга a_ij может быть разложен на сумму

симметричного и антисимметричного тензоров, т.е.

(0.15)

Обозначая и , видим что S_ij = S_ji и A_ij = -A_ji.

Все рассмотренные операции над тензорами отражают конкретные свойства величин, с которыми приходится сталкиваться в раз­личных областях физики и, в частности, гидромеханике.