Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Умножение матриц
Пусть . Для того чтобы, существовало произведение необходимо выполнение условия согласования , т.е. число столбцов матрицы должно совпадать с числом строк матрицы (или порядок строк матрицы должен совпадать с порядком столбцов матрицы ). Если условие согласования выполнено, т.е.
тогда произведение определено формулой
,
т.е. если , тогда – элемент, стоящий в -ой строке и -ом столбце матрицы равен скалярному произведению -ого столбца матрицы (или транспонированной -ой строки матрицы ) на -ый столбец матрицы . Пример 2. Пусть Так как , то условие согласования для матрицы выполнено и
.
Отметим также, что произведение в данном случае не существует, так как для него не выполнено условие согласования. Заметим, что существуют и другие способы умножения матриц, естественно, приводящие к другим результатам. Данный способ умножения матриц диктуется потребностями линейной алгебры и связан с произведением (композицией, суперпозицией) так называемых линейных преобразований. Всякое линейное преобразование определяется некоторой матрицей. Во второй части курса будет показано, что матрица произведения двух линейных преобразований равна произведению матриц этих преобразований в смысле введенного выше определения. Рассмотрим основные свойства умножения матриц. 1) Если , тогда . ◄ Это свойство вытекает из определения произведения матриц. ► 2) Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. . ◄ Прежде всего заметим, что произведение и не всегда существуют одновременно, как это видно из примера 2. Если и существуют одновременно, т.е. , тогда , , т.е. при матрицы и разного порядка и, следовательно, несравнимы. Но даже если и, следовательно, и одного порядка, равенство , вообще говоря, не выполняется. Например,
. ►
В то же время существуют матрицы и для которых . Такие матрицы называются перестановочными. Например, матрицы
перестановочны, т.к. . Более того, существуют квадратные матрицы порядка , которые перестановочны со всеми матрицами из . Примером такой матрицы во множестве является матрица , в чем предлагаем читателю убедиться самостоятельно. 3) Умножение матриц ассоциативно, т.е. . (1.9) Равенство (1.9) следует понимать так: если его левая (или правая) часть существует, тогда существует и правая (левая) часть и обе они совпадают. Доказательство этого свойства содержится в учебнике [1], §13. 4) Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т.е. ,
◄ Пусть . Тогда
. ►
5) Произведение матриц однородно по каждому из сомножителей, т.е. , где . ◄ Например,
.
Равенство доказывается аналогично. ► 6) Реакция произведения матриц на операцию транспонирования выражается формулой (1.10)
◄ Пусть , тогда , , т.е. левая и правая части равенства (1.10) существуют и имеют одинаковые порядки. Далее
. ►
7) Рассмотрим множество квадратных матриц следующего вида:
.
Матрица называется единичной матрицей порядка . Если , тогда матрица является её левой единицей, а матрица – правой единицей, т.е. . Если матрица квадратная и имеет порядок , тогда матрица является её двусторонней (левой и правой ) единицей, т.е. . 8) Напомним, что для всех действительных чисел , т.е. ноль является делителем нуля. В то же время произведение действительных чисел может равняться нулю лишь в том случае, когда по крайней мере одно из чисел или равно нулю. Иными словами, среди действительных чисел отсутствуют истинные (т.е. отличные от 0) делители нуля. В отличие от действительных чисел среди действительных матриц истинные делители существуют, т.е. найдутся такие ненулевые матрицы порядка и порядка , что . ◄ В самом деле, матрицы
и ,
соответственно порядков и , очевидно удовлетворяют нужному условию. В частности, если , то . ► Лекция III.
План
1.8 Теория делимости квадратных матриц 1.9* Основные типы алгебраических структур 1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы
|