Лабораторная работа № 6. Аппроксимация табличной функции методом неопределённых коэффициентов (методом Вандермонда)

Аппроксимация табличной функции методом неопределённых коэффициентов (методом Вандермонда)

Постановка задачи:

Пусть величина y является некоторой функцией аргумента x, но её невозможно записать в виде некоторой формулы, или эта формула очень громоздка и трудна в работе, но при этом задана таблица:

				...
				...

Вводим некоторое , .

Необходимо найти приближённое значение этой функции в некоторой точке x.

Аппроксимировать функцию, значит неизвестную функцию y=f(x), заданную таблицей, требуется заменить некоторой приближённой (аппроксимирующей) функцией P_n(x) (полиномом) так, чтобы отклонение f(x) от P_n(x) было минимальным в заданной области.

Аппроксимация, при которой приближение строится на некотором разрывном множестве точек, называется точечной. А на непрерывном (например, на отрезке) называется непрерывной.

Одним из основных способов точечной аппроксимации является интерполирование. Это вычисление приближённого значения функции в некоторой точке .

А экстраполяция - это вычисление приближённого значения функции в некоторой точке .

В виде аппроксимирующей функции будем рассматривать многочлен (полином) .

Полином должен проходить через заданную систему точек.

Будем подставлять в него поочерёдно вместо x x₀, x₁... x_n, а вместо P_n(x) y₀, y₁... y_n. Получим систему, состоящую из n+1 – уравнения с n+1 – неизвестным коэффициентом a₀, a₁... a_n.

	(1)
..........

Решаем эту систему линейных уравнений любым численным методом (методом Гаусса, методом Зейделя или методом простых итераций) (1, 2 и 3 лабораторные работы).

Найденные коэффициенты a₀, a₁... a_n подставляем в аппроксимирующую функцию (1).

А затем подставляем вместо х данное значение и вычисляем значение функции.

Вспомогательная матрица Вандермонда:

A_n= одномерный массив неизвестных

Y_n= массив данных

Исходные данные:

Функция для проверки: y=tg(cos(x)).

Алгоритм решения:

1) Задать N – количество узлов данных

2) Задать исходные данные к задаче:

float X[N] = {..,..,..,.., };

3) float Y[N] = {..,..,..,.., };

4) Формирование матрицы Вандермонда:

н. ц. i = 0, n

W_i0=1

н. ц. j = 1, n

W_ij = W_ij-1*X_i

к. ц. j

к. ц. i

5) Решение системы:

W_nxn*A_n=Y_n

6) Ввод z (x).

7) Подставляем

P=0

н. ц. i = 0, n

P=P+a_i*pow(z, i)

к. ц. i

8) Вывод P.

9) Проверка:

y=f(z)

Текст программы:

#include< iostream.h>

#include< math.h>

#include< stdio.h>

#include< conio.h>

float *X, *Y, **V;

float *B, *R, h, z;

int n, i, j, k, p=0;

void init(int q=1)

{

if(q)

{X=new float [n];

Y=new float [n];

V=new float *[n];

for(i=0; i< n; i++) V[i]=new float[n];

B=new float [n];

R=new float [n]; for(i=0; i< n; i++) R[i]=0; }

else

{delete[] X;

delete[] Y;

for(i=0; i< n; i++) delete[] V[i]; delete[] V;

delete[] B;

delete[] R; }

}

void ex(void)

{

n=8;

p=1;

init(1);

float X1[8]={0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9, 1.1, 1.3, 1.5};

float Y1[8]={1.540, 1.414, 1.204, 0.960, 0.716, 0.487, 0.274, 0.017};

cout< < " \nVvod x[8]: ";

for(i=0; i< n; i++)

{

X[i]=X1[i];

printf(" %.1f ", X[i]);

}

cout< < " \n\nVvod y[8]: ";

for(i=0; i< n; i++)

{

Y[i]=Y1[i];

printf(" %.3f ", Y[i]);

}

cout< < endl< < endl;

}

void wander(void)

{

for(i=0; i< n; i++)

{

V[i][0]=1;

for(j=1; j< n; j++)

V[i][j]=V[i][j-1]*X[i];

}

}

void gaus(void)

{

for(i=0; i< n; i++)

for(j=i+1; j< n; j++)

{

h=V[j][i]/V[i][i];

for(k=0; k< n; k++)

V[j][k]=V[j][k]-h*V[i][k];

Y[j]=Y[j]-h*Y[i];

}

R[n-1]=Y[n-1]/V[n-1][n-1];

for(i=n-2; i> =0; i--)

{

h=Y[i];

for(j=i+1; j< n; j++)

h=h-R[j]*V[i][j];

R[i]=h/V[i][i];

}

}

float P(float x)

{

float p=0;

for(i=0; i< n; i++) p+=pow(x, i)*R[i];

return p;

}

void main(void)

{

clrscr();

textmode(2);

cout< < " Vvod 0 "; gotoxy(10, 1); cin> > n;

if(n< =0) ex(); else

{

init();

cout< < " Vvod x[" < < n< < " ] ";

for(i=0; i< n; i++)

cin> > X[i];

cout< < " Vvod n[" < < n< < " ] ";

for(i=0; i< n; i++)

cin> > Y[i];

}

wander();

gaus();

cout< < " Vvod x: "; cin> > z;

cout< < " \nf(" < < z< < ")=" < < P(z);

if(p) cout< < " \n\nProverka: tg(cos(" < < z< < "))=" < < sin(cos(z))/cos(cos(z));

init(0);

getch();

}

Скриншот результата программы (при x=0, 4):

Результаты работы программы и проверка (проверка говорит о том, что решение правильное):

f(0, 4) = 1, 316354