Характеристики

некоторых типовых сигналов (функций)

В спектральном анализе и синтезе сигналов, при исследовании процессов передачи и преобразования сигналов в радиотехнических цепях и системах и в других областях теории цепей и сигналов широко используются типовые сигналы или функции. К ним относятся:

– дельта-функция (δ -функция) или функция Дирака δ (t – t ₀), рисунок 13, а;

– единичный сигнал включения (единичный скачок) или единичная функция, ступенчатая функция 1 (t – t ₀), рисунок 13, б;

– единичный радиосигнал включения 1 (t – t ₀) cos(ω (t – t ₀)),

(рисунок 13, в).

Рисунок 13

Дельта–функция (δ -функция)

Дельта-функцией δ (t – t ₀) называют такую функцию, которая равна бесконечности при нулевом аргументе, т. е. в точке t = t ₀, и равна нулю при остальных значениях ее аргумента, причем интеграл от нее на сколь угодно малом отрезке, включающем особую точку t ₀, равен единице (см. рисунок 13, а):

∞ при t = t ₀

δ (t – t ₀) =

0 при t ≠ t ₀,

при любом ε > 0.

Наиболее часто δ -функцию определяют как четную функцию и тогда при ε > 0

1/2.

Согласно приведенному определению δ -функция может рассматриваться как предел единичного (по площади) импульса

δ _a (t – t ₀) любой формы при а → 0:

δ (t – t ₀) = ,

где а – параметр, с уменьшением которого (а → 0) длительность единичного импульса стремится к нулю, а высота импульса обращается в бесконечность, так как его площадь остается неизменной и равной единице:

В качестве единичного импульса может выступать прямоугольный импульс высотой 1/θ, длительностью θ (a = θ) (рисунок 14, а):

1/ θ при t ₀ – θ /2 < t < t ₀ + θ /2,

0 при других t,

а также гауссов (колокольный) импульс (рисунок 14, б):

.

Действительно, площадь единичного прямоугольного импульса будет

,

гауссова импульса –

Рисунок 14

Дельта-функция обладает фильтрующим свойством. Пусть имеется функция f (t), непрерывная в точке t ₀. Составим произведение f (t)δ (t – t ₀) и запишем интеграл от полученной функции на отрезке, включающем особую точку t ₀ (рисунок 15, а):

Заменяя δ (t – t ₀) = , получим (рисунок 15, б):

При участок интегрирования становится сколь угодно малым и функция f (t) на этом участке принимает постоянное значение f (t ₀), которое можно вынести за знак интеграла, а оставшийся интеграл от единичного импульса на отрезке, равном длительности этого импульса, равен 1. Отсюда имеем (рисунок 15, в):

t 0 +

t 0 –

Рисунок 15

Пределы интегрирования здесь могут быть расширены до – ∞ (нижний) и + ∞ (верхний). Фильтрующие свойства δ -функции широко используются в решении самых различных задач. Например, используя это свойство, легко показать получение последовательности дискретных отсчетов (решетчатой функции) по заданной аналоговой функции x (t). Составляется (рисунок 16, а) произведение x (t) · и от полученного результата берется интеграл, результат которого показан на рисунке 16, б:

Рисунок 16

С учетом фильтрующего свойства δ -функции находим

= dt = . (33)

Для несмещенной δ -функции = 1, = 0. Обратное преобразование Фурье функции : δ (t) = = . Полученный интеграл распадается на два, причем интеграл от sinω t равен нулю.

		Рисунок 17

причем интеграл от sinω t равен нулю. В результате имеем:

δ (t) = . (34)

Используя взаимную заменяемость ω и t, запишем:

δ (ω) = (35)

или

= 2π δ (ω). (36)

Этот интеграл можно рассматривать как преобразование Фурье (спектральную функцию) постоянной величины А = 1, а при А ≠ 1

= 2π Aδ (ω). (37)

Если правую часть дополнить слагаемым = 0 и воспользоваться формулой Эйлера, то получим преобразование Фурье постоянной величины, равной единице:

δ (ω) = . (38)

Используя приведенные свойства δ -функции, найдем спектральную функцию гармонического сигнала x (t) = X_m cosω ₀ t.

Преобразование Фурье x (t):

=

= + .

Откуда согласно выражению (38) имеем

(ω) = X_m π δ (ω – ω ₀) + X_m π δ (ω + ω ₀). (39)

Рисунок 18

удобным математическим операциям. Теория обобщенных функций, получившая широкое развитие в настоящее время, играет важную роль в современной математике, физике, механике и других областях.