Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дифференциальное уравнение энергии
В основе уравнения энергии лежит закон сохранения энергии. Рассмотрим элемент массы, мгновенно заменяющий объём dxdydz с центром в точке (x, y, z).
Элемент массы проходит через точку (x, y, z) со скоростью . Скорость изменения температуры определяется полной (субстанционной) производной . (11.16) Скорость изменения накопленной в элементе энергии (скорость накапливания) является произведением теплоёмкости С, массы rdxdydz и скорости изменения температуры, т.е. . Скорость накапливания энергии должна быть равна скорости прихода энергии через все шесть граней элемента. Скорость прихода энергии за счёт теплопроводности определяется по закону Фурье. Плотность теплового потока в элемент в направлении оси х равна . Скорость прихода энергии за счёт теплопроводности в направлении оси х через грань с площадью dydz равна . (11.17) Соотношения аналогичные (11.17) могут быть получены для скорости прихода энергии в направлении осей y и z. Сумма трёх скоростей прихода энергии по осям x, y, z устанавливается равной скорости накапливания энергии в элементе, т.е. , (11.17) . (11.18) . Уравнение (11.18) называют уравнением энергии, которое описывает изменение температуры в движущейся жидкости. Принимаем в (11.18) , , , а также постоянным коэффициент теплопроводности l и вводя обозначение , где а – коэффициент температуропроводности, , получим уравнение нестационарной теплопроводности в твёрдом теле при отсутствии внутренних источников теплоты . (11.19) Получили (11.19) уравнение теплопроводности Фурье. Решение этого уравнения – это температурное поле в теле . Если температура твёрдого тела не меняется во времени (стационарная теплопроводность), то из выражения (11.19) получаем . (11.20) Т.е. получаем уравнение Лапласа, где – оператор Лапласа (лапласиан).
|